関数$f(x)=x^3+ax^2+bx-2$が$x=-1$で極大値$-1$をとるとき，次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．また，極小値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフ上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

$m$を定数とする．曲線$y=x^3-3x$と直線$y=m$が異なる$3$個の共有点をもち，それらの$x$座標を$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$の範囲を求めよ．
(2)$S={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$の値を求めよ．
（注意） なお，$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数，$a \neq 0$）の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
であることを用いてもよい．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-2>0 \\
2x-6 \leqq 0
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$x^3-4x^2+5x+2$を$x-4$で割った余りは$[$2$]$である．
(3)$f(x)=x^2+ax+b,\ g(x)=x^2+2ax+b$とする．放物線$y=g(x)$の頂点の座標が$\displaystyle \left( \frac{8}{3},\ \frac{26}{9} \right)$であるとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．また，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた図形の面積は$[$5$]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{12}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=2$のとき，$\mathrm{AC}^2=[$6$]$，$\sin^2 A=[$7$]$である．
(5)$2$次方程式$3x^2+2x+15=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[$8$]$，$\displaystyle \frac{\alpha+i \beta}{\alpha-i \beta}-\frac{\alpha-i \beta}{\alpha+i \beta}=[$9$]$である．
(6)$1$から$15$までの異なる$15$個の自然数の中から，$4$個の異なる数をとって組を作る．このとき，偶数だけからなる組は$[$10$]$通りあり，偶数を少なくとも$1$個含む組は$[$11$]$通りある．

次の問いに答えなさい．

(1)$1$以上$200$以下の自然数の中で，$2$または$5$で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ 3(2x-3)^2-4(2x+1)+12 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-2|>3x \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき，次の式の値を求めなさい．


(i) $x^2-y^2$
(ii) $x^3+y^3$

(5)$7$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$から異なる$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，次の問いに答えなさい．

(i) $5$桁の整数は全部で何個できるか．その個数を求めなさい．
(ii) $(1)$で求めた$5$桁の整数のうち，奇数は何個できるか．その個数を求めなさい．

(6)$\displaystyle \left( 3x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の展開式における$x^4$の係数を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$2x^3-16$を因数分解しなさい．
(2)$\sqrt{7-\sqrt{48}}$の二重根号をはずして簡単にしなさい．
(3)不等式$x-4<-3x+2 \leqq x+6$を解きなさい．
(4)$2$次方程式$3x^2-6x+1=0$の実数解の個数を求めなさい．
(5)$\tan \theta=-3 (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(6)$6$人の生徒を$2$人ずつ$3$組に分ける分け方は何通りあるか求めなさい．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

二項定理と二項係数を用いて，以下の問に答えよ．ただし，$m$と$n$は正の整数である．

(1)${(x+1)}^m$の展開式における$x^r$の係数を求めよ．ただし，$r$は整数で，$0 \leqq r \leqq m$とする．
(2)${(x^2+1)}^n$の展開式における$x^{2s}$の係数を求めよ．ただし，$s$は整数で，$0 \leqq s \leqq n$とする．
(3)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数を$m$と$n$を用いて表せ．
(4)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数が$30$であるという．

(i) 正の整数$m$および$n$の値を求めよ．
(ii) ${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^5$の係数の値を求めよ．

関数$\displaystyle y=-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{x}$とおいて，関数$y$を$t$の関数に書き換えよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \leqq 2$における関数$y$の最大値，最小値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．