$a,\ b,\ c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$は$3$個の相異なる実数解を持ち，それらの解をある順番で並べると等比数列となる．そこで等比数列の公比を$r$とおき，方程式の解を$p,\ pr,\ pr^2$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p,\ r$の式として表せ．
(2)$c$を$a,\ b$の式として表せ．
(3)$p,\ pr,\ pr^2$を適当に並びかえると等差数列になるとする．このとき$r$の値を求めよ．
(4)$(3)$の場合で，さらに$b=2a$であるとき$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-3ax^2-3bx$が$x=p$と$x=q$とで極値をとるものとする．

(1)$-1 \leqq p \leqq 0$かつ$1 \leqq q \leqq 2$となるような点$(a,\ b)$の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)$(a,\ b)$が上の範囲を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

$3$次関数$y=x^3$のグラフの接線で，放物線$\displaystyle y=-\left( x-\frac{4}{9} \right)^2$にも接するものをすべて求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$3$次方程式$x^3-3ax^2+a+b=0$が$3$個の相異なる実数解をもち，そのうち$1$個だけが負となるための$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を平面上に図示せよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x-2$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べ，グラフをかけ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と，点$(a+2,\ f(a+2))$における接線が，平行であるような$a$の値を求めよ．また，このときの点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-20x+16$について，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線のうち，原点を通るものを求めよ．
(4)$y=f(x)$の接線で，$(3)$で求めた接線と傾きの等しいものが，もう$1$つある．その接線の方程式を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)実数$x,\ y,\ z$が$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}$を満たしている．$x^3+y^3+z^3=-36$が成り立つのは，
\[ \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10} \]
の値が$[$①$]$のときである．

(2)$\displaystyle x-y=\frac{\pi}{3}$であるとき，$\displaystyle \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}$の値は$[$②$]$である．

(3)座標空間における$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$\ell$上の点$\mathrm{P}$において，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線が直線$\ell$と垂直に交わるとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標は$[$③$]$である．
(4)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
4(\log_2x)^2+2 \log_2y=1 \\
x^2y=2
\end{array} \right.$を解くと，$x=[$④$]$，$y=[$⑤$]$である．
(5)$2$桁の自然数を$N$とし，$N$の$1$の位と$10$の位の$2$つの数の和を$T$とする．$\displaystyle \frac{N}{T}$の最小値は$[$⑥$]$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．

$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．

$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．