整式$x^3+ax^2+bx+4$（$a,\ b$は実数）が整式$x^2+x-2$で割り切れるとき，$ab$の値を求めよ．

$f(x)=2x^3+12x^2+18x+9$とおくとき，関数$y=f(x)$のグラフは点$\mathrm{A}$に関して点対称である．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が関数$y=f(x)$のグラフと$3$点で交わる条件を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれた$2$つの部分の面積の和が$1$となるような$m$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)$は$x^3$の係数が$1$で，$2$次方程式$f^\prime(x)=0$が$x=2$を重解にもち，$f(0)=0$を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=kx$が異なる$3$つの実数解をもつように，定数$k$の値の範囲を定めよ．
(3)方程式$f(x)=3x+m$が異なる$3$つの実数解をもつように，定数$m$の値の範囲を定めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は実数）は，$x=-1$で極大値$13$をとり，$x=1$で，極小値$p$をとるものとする．$p$の値を求めよ．

曲線$C:y=2x^3-9x^2-60x+140$，直線$L:y=k$（$k$は実数）について考える．曲線$C$と直線$L$は，$k=a$および$k=b$（$a<b$）（$a,\ b$ともに実数）のとき，それぞれ，$1$点で接し，その接点とは異なる$1$点で，交わるものとする．$|\displaystyle \frac{b|{16}+\frac{a}{27}}$の値を求めよ．

角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$を満たすとき，次の$\theta$の関数を考える．
\[ y=\sin 3\theta +6 \cos 2\theta-6 \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \cos \theta+12 \sin \theta \]
以下の問に答えなさい．空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．

(1)$\displaystyle x=\sin \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表すと
\[ y=-[ケ]x^3-[コサ]x^2+[シス]x+[セ] \]
となる．
(2)(1)の$3$次関数を利用すると，$y$の最大値は$[ソ]$であり，最小値は$[タ]$であることが分かる．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}p^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=[ア]$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$[イ]$である．
(2)$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=[ウ]$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2,\ 3,\ x$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=[オ]$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=[カ]$である．
(4)$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2 \cos \alpha,\ 2 \sin \alpha)$，$\mathrm{B}(2 \cos \alpha+\cos \beta,\ 2 \sin \alpha+\sin \beta)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,\ 1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=[キ]$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\left( \frac{1}{9} \right)^x-12 \left( \frac{1}{3} \right)^x+40 (-3 \leqq x \leqq -1)$を考える．$-3 \leqq x \leqq -1$のとき，$\displaystyle t=\left( \frac{1}{3} \right)^x$のとりうる値の範囲を求めると$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めると$(m,\ x)=[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．方程式$\cos 2\theta+3 \cos \theta-1=0$を解くと$\theta=[ウ]$である．また，方程式$\displaystyle \log_3 (\sqrt{3} \tan \theta+1)+\log_3 (\cos \theta)=\frac{1}{2}$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$2x^3-ax^2-2x+a$を因数分解すると$[オ]$である．また，$P(x)=2x^3-ax^2-2x+a$，$Q(x)=-x^2+(2a-1)x+2a$とおくとき，すべての正の$x$について$P(x)-Q(x)>0$が成立するような$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が半径$4$の円に内接し，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{3} \mathrm{DA}$とする．このとき，$\mathrm{AC}$の長さを求めると$\mathrm{AC}=[キ]$であり，$\mathrm{DA}$の長さを求めると$\mathrm{DA}=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$次関数$y=x^2+x+k$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最大値が$8$であるとき，実数$k$の値は$[ア]$であり，そのときの最小値は$[イ]$である．
(2)$\angle \mathrm{O}$が直角の直角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$とするとき，$\mathrm{OC}=[ウ]$であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，$\tan A$の値は$[エ]$である．
(3)$3$次方程式$x^3+ax-3a=0$のただひとつの整数解が$x=2$であるとき，$a=[オ]$であり，そのときの虚数解は，$x=[カ]$である．
(4)$x$の$2$次式$f(x)$が，$f(-1)=f(2)=0$と$f(3)=-1$を満たすとき，$f^\prime(-1)=[キ]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[ク]$である．
(5)$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{5}{6} \pi$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{6} \right)-\cos 2\theta$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．