「x^3」について
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国立 信州大学 2011年 第2問曲線$y = ax^3$と曲線$y = 5 \log x$が接しているとする．ただし，$a$は正の定数で，対数は自然対数である．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$つの曲線および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$つの曲線および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 信州大学 2011年 第3問$f(x) = x^3-3x^2 +x$とし，方程式$y = f(x)$が定める曲線を$K$とする．
(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
国立 富山大学 2011年 第1問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
国立 奈良女子大学 2011年 第5問$a,\ b$は実数で$a<b$をみたすものとする．$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx$とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．
国立 徳島大学 2011年 第4問$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x$とする．
(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．
国立 徳島大学 2011年 第1問$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x$とする．
(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |f(x)| \, dx$を求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第1問$x>1$である実数$x$に対して$\displaystyle x+\frac{1}{x}=a$とおくとき，次の式を$a$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$
(2)$\displaystyle x-\frac{1}{x}$
(3)$\displaystyle x^3-\frac{1}{x^3}$
(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$
(2)$\displaystyle x-\frac{1}{x}$
(3)$\displaystyle x^3-\frac{1}{x^3}$
国立 香川大学 2011年 第4問$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．
国立 香川大学 2011年 第4問$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．