「x^3」について
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国立 横浜国立大学 2011年 第1問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
国立 横浜国立大学 2011年 第1問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．
国立 秋田大学 2011年 第1問大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b,\ g(x)=x^3-(a+b)x^2+(a+1)bx-b^2$とおく．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(3)方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(3)方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．
国立 名古屋大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．
(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．
国立 神戸大学 2011年 第4問$a$は正の無理数で，$a^3+3a^2-14a+6, Y=a^2-2a$を考えると，$X$と$Y$はともに有理数である．以下の問に答えよ．
(1)整式$x^3+3x^2-14x+6$を整式$x^2-2x$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$X$と$Y$の値を求めよ．
(3)$a$の値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．
(1)整式$x^3+3x^2-14x+6$を整式$x^2-2x$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$X$と$Y$の値を求めよ．
(3)$a$の値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．
国立 神戸大学 2011年 第1問実数$x,\ y$に対して，等式
\[ x^2+y^2=x+y \cdots\cdots① \]
を考える．$t = x+y$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$\maru{1}$の等式が表す$xy$平面上の図形を図示せよ．
(2)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとする．
\[ F = x^3+y^3-x^2y-xy^2 \]
を$t$を用いた式で表せ．また，$F$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2=x+y \cdots\cdots① \]
を考える．$t = x+y$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$\maru{1}$の等式が表す$xy$平面上の図形を図示せよ．
(2)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとする．
\[ F = x^3+y^3-x^2y-xy^2 \]
を$t$を用いた式で表せ．また，$F$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
国立 岡山大学 2011年 第4問$p$を定数とする．
\[ f(x) = x^3+x^2+ px+1 \]
とおく．$y=f(x)$のグラフに傾き$1$の$2$つの異なる接線が引けるという．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p$の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とする．$(\alpha - \beta)^2$を$p$を用いて表せ．
(3)$2$つの接線の$y$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを$p$を用いて表せ．
(4)$2$つの接線の間の距離が$\displaystyle \frac{8}{27}$となるような$p$の値を求めよ．
\[ f(x) = x^3+x^2+ px+1 \]
とおく．$y=f(x)$のグラフに傾き$1$の$2$つの異なる接線が引けるという．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p$の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とする．$(\alpha - \beta)^2$を$p$を用いて表せ．
(3)$2$つの接線の$y$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを$p$を用いて表せ．
(4)$2$つの接線の間の距離が$\displaystyle \frac{8}{27}$となるような$p$の値を求めよ．
国立 大阪大学 2011年 第4問$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$x$の関数$f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$を考える．以下，定数は全て実数とする．
(1)定数$p,\ q$に対し，次をみたす定数$r$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2)恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて，次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3)すべての自然数$n$に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする．このとき関数$f(x)$は，自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ．
(1)定数$p,\ q$に対し，次をみたす定数$r$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2)恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて，次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3)すべての自然数$n$に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする．このとき関数$f(x)$は，自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ．
国立 弘前大学 2011年 第3問曲線$y = x^3 +4x^2 -x$と曲線$y = x^2 +3$の3つの交点を$(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ (x_3,\ y_3)$とおく．ただし$x_1 < x_2 < x_3$とする．次の問いに答えよ．
(1)2点$(x_1,\ y_1)$と$(x_3,\ y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y = x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(2)曲線$y = x^2 +3$上の2点$(x_1,\ y_1),\ (x_3,\ y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1,\ L_2$とする．2直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．
(1)2点$(x_1,\ y_1)$と$(x_3,\ y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y = x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(2)曲線$y = x^2 +3$上の2点$(x_1,\ y_1),\ (x_3,\ y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1,\ L_2$とする．2直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．
国立 信州大学 2011年 第1問$x$を未知数とする$3$次方程式
\[ x^3+(2t-2)x^2+(t^3-3t +2)x+1 = 0 \]
の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$t > 0$ならば，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \leqq 0$であることを示しなさい．
\[ x^3+(2t-2)x^2+(t^3-3t +2)x+1 = 0 \]
の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$t > 0$ならば，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \leqq 0$であることを示しなさい．