「x^3」について
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私立 神奈川大学 2012年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．
(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 広島修道大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+3y=14 \\
\log_{\sqrt{2}} (x-y)=2
\end{array} \right. \]
を解け．
(3)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が$f(3)=16$，$f^\prime(2)=f^\prime(-2)=9$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．
(1)方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+3y=14 \\
\log_{\sqrt{2}} (x-y)=2
\end{array} \right. \]
を解け．
(3)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が$f(3)=16$，$f^\prime(2)=f^\prime(-2)=9$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．
私立 広島修道大学 2012年 第3問次の問に答えよ．
(1)$a,\ m$を定数とする．関数$y=x^3+3x^2+mx+m$が区間$x \leqq a$，$a+2 \leqq x$で増加し，区間$a \leqq x \leqq a+2$で減少するように$a$と$m$の値を定めよ．
(2)不等式$(x^{\log_3 x})^2+x^{5 \log_x3}-84 x^{\log_3x}<0$を解け．
(1)$a,\ m$を定数とする．関数$y=x^3+3x^2+mx+m$が区間$x \leqq a$，$a+2 \leqq x$で増加し，区間$a \leqq x \leqq a+2$で減少するように$a$と$m$の値を定めよ．
(2)不等式$(x^{\log_3 x})^2+x^{5 \log_x3}-84 x^{\log_3x}<0$を解け．
私立 広島修道大学 2012年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．
(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．
私立 岡山理科大学 2012年 第2問関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x^3}{3} \right) \left( \log_3 \frac{9}{x^3} \right)$について，次の設問に答えよ．
(1)$t=\log_3x$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 9$における$y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$t=\log_3x$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 9$における$y$の最大値と最小値を求めよ．
私立 中部大学 2012年 第3問$a,\ b$は定数で，$a>1$とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2+b$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値が$3$，最小値が$\displaystyle -\frac{21}{2}$であるとき，$a,\ b$を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値が$3$，最小値が$\displaystyle -\frac{21}{2}$であるとき，$a,\ b$を求めよ．
私立 愛知学院大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)式$(2x+1)^4$を展開したとき，$x$の項の係数は$[ア]$である．
(2)式$(2x+1)^4$を展開したとき，$x^2$の項の係数は$[イ]$である．
(3)式$(2x+1)^{10}$を展開したとき，$x^3$の項の係数は$[ウ]$である．
(4)式$(3x^3+2)^6$を展開したとき，$x^9$の項の係数は$[エ]$である．
(1)式$(2x+1)^4$を展開したとき，$x$の項の係数は$[ア]$である．
(2)式$(2x+1)^4$を展開したとき，$x^2$の項の係数は$[イ]$である．
(3)式$(2x+1)^{10}$を展開したとき，$x^3$の項の係数は$[ウ]$である．
(4)式$(3x^3+2)^6$を展開したとき，$x^9$の項の係数は$[エ]$である．
私立 日本福祉大学 2012年 第3問$a$を正の定数とするとき，$0 \leqq x \leqq a$における$f(x)=x^3-12x+4$の最大値，最小値を求めよ．
私立 広島工業大学 2012年 第4問関数$f(x)=x^3+(a-2)x^2+3x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=-a$で極値をもつとき，$a$の値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=-a$で極値をもつとき，$a$の値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．
私立 北海道薬科大学 2012年 第4問関数$f(x)=x^3-2x^2$に対して，曲線$C$を$y=f(x)$で定義する．
(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．
(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．