$a$を実数の定数とし，$5$次多項式$\displaystyle f(x)=x^5-\frac{5}{3}(a^2+1)x^3+5a^2x$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)$a$が$(1)$の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．
(4)$a$が$(1)$と$(3)$の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．

$a>0$とする．次の関数$f(x)$について，$0 \leqq x \leqq 1$における最大値および最小値を求めよ．
\[ f(x)=x^3-a^2x \]

$n$は自然数とする．次の問に答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2 \]
(2)$x>0$のとき，次の不等式を示せ．
\[ x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x \]
(3)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n k \sin \frac{1}{k} \right) \]

以下の各問に答えよ．

(1)$2x^2y+5xy^2-6x^2+2y^3-6y^2-15xy$を因数分解せよ．
(2)$p,\ q$を実数の定数とする．3次方程式$x^3+px^2+qx+6=0$の1つの解が$\displaystyle x=\frac{2}{1-i}$であるとき，$p,\ q$の値と他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)実数$a,\ b$に関する命題「$a+b<0$ならば，$a<0$または$b<0$」を命題$\mathrm{P}$とする．

(i) 命題$\mathrm{P}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ii) 命題$\mathrm{P}$の逆を命題$\mathrm{Q}$とする．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

$t$を1以上の実数とし，$f(x)=x^3+x^2-(t^2+t)x-t$とする．曲線$C:y=f(x)$を原点に関して対称移動して得られる曲線を$C_1$，$C$を$x$軸方向に1だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とする．また，$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，曲線$C_1,\ C_2,\ y$軸および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$t \geqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=ax^3-(a+3)x+a+3$について，次の問いに答えよ．ただし$a$は$0$でない実数とする．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$x$の方程式$f^\prime(x)=0$が実数解をもつような$a$の範囲を求め，またそのときの実数解をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

曲線$y^2-2xy+x^3=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$x$および$y$は$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の実数とする．

(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．

定数$a (a \neq 1)$に対し，$f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a$とする．

(1)方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．
(2)関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

$3$次関数$f(x)=-x^3+3ax^2+b$（$a,\ b$は実数の定数）について，次の問に答えよ．

(1)$a=1,\ b=3$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$のとき$f(x) \leqq 4$となるための$a,\ b$の条件を求めよ．