関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．

関数$f(x)=(4x^3-5x)e^{-x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，原点を通り，かつ傾きが正のものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる2つの部分の面積の和を求めよ．

3次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$x=\alpha$で極大値を，$x=\beta$で極小値を持ち，$f(\alpha)-f(\beta)=4$とする．

\mon[(i)] $\beta-\alpha$を$a,\ b$の式で表せ．
\mon[(ii)] $a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)曲線$y=f(x)$に点$(0,\ 8)$から引いた接線の本数がちょうど2本あるとする．

\mon[(i)] $x=t$における接線の方程式を求めよ．
\mon[(ii)] $a$の値を求めよ．

(3)(1)，(2)がともに成り立つとき，2本の接線をそれぞれ求めよ．
(4)(3)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

$f(x)=x^3-3x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(2,\ 2)$を通るものの方程式をすべて求めよ．
(3)点$(2,\ t)$から曲線$y=f(x)$に3本の接線が引けるとき，$t$の値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle y=f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$と$y=x$のグラフを描け．
(2)$\displaystyle 1<x_0<\frac{3}{2}$に対して，$x_{n+1}=f(x_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を定義する．このとき，$x_n > x_{n+1} \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$が単調減少で，ある実数$L$に対して$a_n > L \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$ならば$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$が存在する．このことを用いて，数列$\{x_n\}$の極限を求めよ．

$2$次関数$f(x),\ g(x)$は，それぞれ
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{3x^2}{16}\int_0^1 f(t) \, dt -\frac{3x}{7}\int_{-1}^0 f(t) \, dt+7, \nonumber \\
& & (x-1)g(x) = \int_0^x g(t) \, dt -\frac{2x^3}{3} + 2x^2-2x+1 \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$g(x)$を求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$の点$(4,\ f(4))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+b$について，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における曲線の接線を$\ell_t$とする．

(1)$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_t$が原点を通るような$t$の値がただ$1$つに定まるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$が(2)の条件を満たすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を$0$でない実数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3-a^3=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin |2x| \, dx$を求めよ．
(3)連続する$3$つの自然数$a,\ b,\ c$があり，それらは$a^2+b^2=c^2,\ a<b<c$をみたすとする．このような$a,\ b,\ c$はただ$1$組しかないことを示せ．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$について次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$における接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と曲線$y=f(x) (2 \leqq x \leqq 4)$で囲まれた領域の面積を求めよ．

定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．