「x^3」について
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国立 大阪大学 2012年 第1問$1$個のさいころを$3$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$l$，$2$回目に出る目を$m$，$3$回目に出る目を$n$で表し，$3$次式
\[ f(x) = x^3+ l x^2 + mx+n \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が$(x+1)^2$で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$が極大値も極小値もとる確率を求めよ．
\[ f(x) = x^3+ l x^2 + mx+n \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が$(x+1)^2$で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$が極大値も極小値もとる確率を求めよ．
国立 九州大学 2012年 第2問関数$f(x) = x^3+3x^2+x-1$を考える．曲線$C:y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．
(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．
(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．
国立 北海道大学 2012年 第3問次の問に答えよ．
(1)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle x- \frac{x^3}{6} \leqq \sin x \leqq x$を示せ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30} \leqq \int_0^x t\sin t\, dt \leqq \frac{x^3}{3}$を示せ．
(3)極限値
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3} \]
を求めよ．
(1)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle x- \frac{x^3}{6} \leqq \sin x \leqq x$を示せ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30} \leqq \int_0^x t\sin t\, dt \leqq \frac{x^3}{3}$を示せ．
(3)極限値
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3} \]
を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第4問$xy$平面上の点$(a,\ b)$から曲線$y=x^3-2x$に接線をひく．点$(a,\ b)$からの接線が3本ひけるときの$a,\ b$についての条件を求め，点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．
国立 広島大学 2012年 第2問$a$を実数とし，$f(x)=x^3-3x^2+3x$とおく．数列$\{x_n\}$を
\[ x_1=a,\ x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数$n$について$x_n=a$となるとき，$a$を求めよ．
(2)$a<1$のとき，$x_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x_n<x_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．
\[ x_1=a,\ x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数$n$について$x_n=a$となるとき，$a$を求めよ．
(2)$a<1$のとき，$x_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x_n<x_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．
国立 東京工業大学 2012年 第3問$3$次関数$y = x^3-3x^2+2x$のグラフを$C$，直線$y = ax$を$\ell$とする．
(1)$C$と$\ell$が原点以外の共有点をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲内にあるとき，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．
(1)$C$と$\ell$が原点以外の共有点をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲内にあるとき，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第4問実数$a$は$a>-1$とする．関数$f(x)=3x^3-7x^2+5x-1$に対し，
\[ -1<c<a,\ \frac{f(a)-f(-1)}{a+1}=f^{\, \prime}(c) \]
となる$c$がちょうど2つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
\[ -1<c<a,\ \frac{f(a)-f(-1)}{a+1}=f^{\, \prime}(c) \]
となる$c$がちょうど2つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第2問$xy$平面上の点$(a,\ b)$から曲線$y = x^3-2x$に接線をひく．点$(a,\ b)$からの接線が3本ひけるときの$a,\ b$についての条件を求め，点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．
国立 弘前大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x$について次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
国立 名古屋工業大学 2012年 第1問3次関数
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．