「x^3」について
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公立 岐阜薬科大学 2013年 第1問関数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定数$k$について，方程式$f(x)-k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定数$k$について，方程式$f(x)-k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
公立 富山県立大学 2013年 第3問$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=e^{-2x^3}$，$g(x)=xe^{-x^3}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=0$は証明なしに用いてよい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=g(x)$の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)$a \geqq 0$とし，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}e^{2a^3}V(a)$を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=g(x)$の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)$a \geqq 0$とし，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}e^{2a^3}V(a)$を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第2問$a>0$とする．関数$f(x)=x^3+ax^2-1$の極値の差が$4$となるとき，$a$の値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第12問$3$次方程式$x^3-6ax^2+9a^2x-4a=0$が相異なる$3$つの実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
公立 京都府立大学 2013年 第4問$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=-x^3+x$と関数$g(x)=x^3-x^2$がある．$xy$平面上に曲線$C_1:y=f(x)$および曲線$C_2:y=g(x)$を定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C_1$上の点$(1,\ 0)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線が直交するとき，曲線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において，$f(x) \geqq g(x)$が成り立つことを示せ．
(4)原点を通り，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ．
(1)曲線$C_1$上の点$(1,\ 0)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線が直交するとき，曲線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において，$f(x) \geqq g(x)$が成り立つことを示せ．
(4)原点を通り，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ．
公立 福岡女子大学 2013年 第3問関数$f(x)$に対して，
\[ \int_0^x f(t) \, dt=-x^3+ax^2+bx+c \]
とする．$a,\ b,\ c$は定数である．以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$は，$x=p$で最大値$q$をとる．$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$とおき，$F(3)=0$，$f(2)=0$とする．$F(0)=0$となることに注意して，$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(3)$(2)$の条件の下で，方程式$f(x)=0$のもう$1$つの解を求めなさい．
\[ \int_0^x f(t) \, dt=-x^3+ax^2+bx+c \]
とする．$a,\ b,\ c$は定数である．以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$は，$x=p$で最大値$q$をとる．$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$とおき，$F(3)=0$，$f(2)=0$とする．$F(0)=0$となることに注意して，$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(3)$(2)$の条件の下で，方程式$f(x)=0$のもう$1$つの解を求めなさい．
公立 尾道市立大学 2013年 第3問$f(x)$を変数$x$の$2$次関数，$F(x)$を$f(x)$の原始関数とする（つまり$F^\prime(x)=f(x)$である）．また$f(x)$と$F(x)$は次の関係を満たすとする．
\[ 3xF(x)-f(x)^2=x^3-7x^2-12x-9 \]
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の値が最小となる実数$a$と，そのときの定積分の値を求めなさい．
\[ 3xF(x)-f(x)^2=x^3-7x^2-12x-9 \]
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の値が最小となる実数$a$と，そのときの定積分の値を求めなさい．
国立 京都大学 2012年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$P(x)$は有理数を係数とする$x$の多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$を満たしているとする．このとき$P(x)$は$x^3-2$で割り切れることを証明せよ．
(1)$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$P(x)$は有理数を係数とする$x$の多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$を満たしているとする．このとき$P(x)$は$x^3-2$で割り切れることを証明せよ．
国立 一橋大学 2012年 第2問$a$を$0$以上の定数とする．関数$y=x^3-3a^2x$のグラフと方程式$|x|+|y|=2$で表される図形の共有点の個数を求めよ．
国立 名古屋大学 2012年 第1問$a$を正の定数とし，$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^2x$とする．
(1)$C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は0でないとする．
(2)$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ．
(3)$C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする．$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1 \geqq S_2$として，$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(1)$C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は0でないとする．
(2)$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ．
(3)$C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする．$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1 \geqq S_2$として，$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．