$3$次方程式$x^3+(2m-7)x^2+(9-m)x-m-3=0$が，異なる$3$つの正の解をもつとき，定数$m$の値の範囲を求めなさい．

曲線$C:y=x^3-tx$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^3-ta) (a<0)$における接線$\ell$が$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表すと$x=[アイ]a$である．
(2)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線が直線$\mathrm{PQ}$と直交するとき$([ウ]a^2-t)([エオ]a^2-t)=-1$である．
(3)$(2)$を満たす$a$の値がただ$1$つ決まるとき，$\displaystyle t=\frac{[カ]}{[キ]}$である．

次の定積分を求めよ．
\[ (1) \int_2^3 \frac{x^3+2}{x-1} \, dx \qquad (2) \int_0^3 e^{\sqrt{x}} \, dx \qquad (3) \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\log \cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $y=\sqrt{2-x^3}$
(ii) $y=x^2 \cos (\sqrt{2}x)$
(iii) $\displaystyle y=\frac{e^x-2}{e^x+2}$

(2)次の不定積分，定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int \frac{x^2}{2-x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^5+x^3} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 (1-x) \cos (\pi x) \, dx$

$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を実数とし，整式$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-1$を整式$g(x)=x^3+px^2+qx+2$で割った余りは$x^2+1$であるとする．

(1)$f(x)=0$と$g(x)=0$は実数の範囲に共通の解をもたないことを示せ．
(2)$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_nb_n}$，$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく．ただし，$a_n>0$，$b_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ c$を実数の定数とする．$a>0$のとき，方程式$2x^3-3ax^2=c$の相異なる実数解の個数を求めよ．
(2)$3$次関数$y=x^3-3x$のグラフを$G$とする．$x$座標が正である座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$G$の接線が$3$本存在するための，$a,\ b$の条件を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$（$x$は実数）について，以下の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(0,\ 3)$を通るものすべての方程式を求めよ．また，その求め方を説明せよ．
(2)点$(1,\ 3)$を通る傾き$a$の直線と曲線$y=f(x)$が$3$点で交わるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．また，その求め方を説明せよ．