以下の$[　]$に入る適切な数値を解答欄に記せ．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$7^{2013}$の$1$の位の数字は$[　]$である．
(2)$a,\ b$を定数とする．整式$P(x)=x^3+2x^2+ax+b$は$x-2$で割り切れるが，$x+3$で割ると$5$余る．このとき$a=[　]$，$b=[　]$である．
(3)$x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz$を因数分解すると$[　]$である．

関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の区間$-2 \leqq x \leqq 1$での最大値は$x=[　]$のとき$[　]$であり，最小値は$x=[　]$のとき$[　]$である．また，区間$-2 \leqq x \leqq 4$のとき，$f(x)$の最大値から最小値を引いた値は$[　]$である．

$0<a<2$とする．$x \geqq 0$のとき$f(x)=x^3$，$x<0$のとき$f(x)=x^2+2x$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と直線$y=ax$で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(4)$T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

関数$f(x)$は次の等式を満たすものとする．
\[ \int_1^x f(t) \, dt=x^3+3x^2 \int_0^1 f(t) \, dt+x+k \]
ただし，$k$は定数とする．

(1)$f(x)=[ア]x^2-[イ]x+[ウ]$であり，$k=[エ]$である．関数$f(x)$は$x=[オ]$のとき最小値$[カキ]$をとる．
(2)関数$y=g(x)$のグラフと関数$y=f(x)$のグラフが，直線$x=3$に関して対称であるとすると
\[ g(x)=[ク]x^2-[ケコ]x+[サシ] \]
である．$y=g(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は
\[ \frac{[スセ] \pm \sqrt{[ソ]}}{[タ]} \]
であり，$y=g(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[チ] \sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$について，以下の問に答えなさい．ただし$a,\ b$は実数の定数とする．

(1)$3f(x)-xf^\prime(x)=2x+3$がすべての$x$の値について成り立つとき，$a=[ホ]$，$b=[マ]$である．

(2)$f(x)$が$2x^2-x-1$で割り切れるとき，$\displaystyle a=\frac{[ミ]}{[ム]}$，$\displaystyle b=\frac{[メ]}{[モ]}$である．

(3)$f(x)=0$の$1$つの解が$x=1+2i$であるとき$\displaystyle a=\frac{[ヤ]}{[ユ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヨ][ラ]}{[リ]}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[　]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[　]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[　]$である．また，そのときの$s$の値は$[　]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[　]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[　]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[　]$である．

$3$次方程式
\[ x^3-3x^2-a=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．ただし，$a$は実数の定数とする．

$1 \leqq x \leqq 4$のとき，関数
\[ y=(\log_2 x)^3-\log_2 x^3+1 \]
の最大値，最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)初項$1$，公比$2$の等比数列の初項から第$10$項までの和は$\kakkofour{ア}{イ}{ウ}{エ}$である．
(2)直線$x+2y+3=0$に垂直で点$(1,\ 3)$を通る直線の傾きを$m$，$y$切片を$b$とするとき
\[ m=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(3)$2$次方程式$3x^2-(3 \sqrt{2}+2)x+3 \sqrt{2}-1=0$の解は
\[ x=[キ],\quad \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}-[コ]}{[サ]} \]
である．
(4)不等式$|2x-5| \leqq 4$の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(5)曲線$y=x^3$の$x=2$における接線は，$y=[タチ]x-[ツテ]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(2,\ 0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1)$のとき，
\[ |\overrightarrow{a}|=[ト],\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{[ナ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ニ] \]
である．