$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=-\frac{x^3}{3}+ax$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最小値を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$と$g(x)=|-x^2+6x-3|-2$がある．

(1)関数$f(x)$は，極大値$[ア]$，極小値$[イ]$をとる．
(2)関数$y=g(x)$のグラフと直線$x+y=k$が異なる$4$個の共有点をもつ．このとき，実数$k$のとり得る値の範囲は，$[ウ]<k<[エ]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解のうち，最小のものは$x=[オ]$であり，最大のものは$x=[カ]$である．

次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$のとき，$x^2+x$の値は$[ア]$であり，$x^4-x^3$の値は$[イ]$である．
(2)$10$人の生徒をいくつかのグループに分ける．このとき

(i) $2$人，$3$人，$5$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[ウ]$通りある．
(ii) $3$人，$3$人，$4$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[エ]$通りある．
(iii) $2$人，$2$人，$3$人，$3$人の$4$つのグループに分ける分け方は$[オ]$通りある．

(3)次の命題または式のうち正しいものの番号をすべてあげると$[カ]$となる．

\mon[$①$] $0 \leqq 0$
\mon[$②$] $\sqrt{(-3)^6}=(-3)^3$
\mon[$③$] 実数$x$が$\displaystyle \frac{9}{4}<x \leqq \frac{88}{39}$を満たすならば，$0<-12x^2+55x-63$である．
\mon[$④$] $a,\ b$が共に無理数であるならば，$a+b$と$a-b$の少なくとも一方は無理数である．
\mon[$⑤$] すべての実数$x$に対して，$\displaystyle -3x^2-2x+\frac{1}{3}<-2x^2-5x+\frac{31}{12}$である．

$f(x)=x^3-x^2+12$とおく．原点を通り，曲線$y=f(x)$に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との接点以外の共有点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との共有点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$，$\mathrm{Q}(b,\ f(b)) (a<b)$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(c,\ f(c))$が$a<c<b$を満たしながら動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最大となるような$c$の値を求めよ．

$3$次関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x$について次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$|x| \leqq 2$における関数$y=f(x)$の最大値$M$，および最小値$m$を求めよ．
(3)定数$k$が$m \leqq k \leqq M$をみたすとき，直線$y=k$と曲線$y=f(x)$の共有点の個数を調べよ．
(4)定数$K$が$m \leqq K \leqq M$をみたすとき，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=K$をみたす$\theta$の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle -\frac{3}{4} \pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{4} \pi$とする．

$\omega=1+i$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$\displaystyle \frac{\overline{\omega}}{\omega}$を解としてもつとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．また，$3$次方程式$x^3+cx^2+dx+e=0$が解として$1$と$\omega^3$をもつとき，$c=[$6$]$，$d=[$7$]$，$e=[$8$]$である．ここで，$i$は虚数単位，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数である．

$a$を正の実数とする．関数$y=f(x)=2x^3-6a^2x$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，関数$y=f(x)$上の点$(2,\ 4)$における接線の方程式を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが原点に関して点対称であることを示せ．
(3)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が，再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)半径$2$の円に内接する正六角形$P$と外接する正六角形$Q$がある．$P$と$Q$の面積比を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+4$とする．$k$を実数とし，$y=f(x)$を$x$軸方向に$k$，$y$軸方向に$-4$だけ平行移動した曲線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$つの交点をもち，このうちどちらか一方の交点の$x$座標が$2$であるとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値をとるとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)$k$を実数とする$2$次方程式$x^2+x+k=0$の解が$\sin \theta$，$\cos \theta$で表されるとき，$k,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(5)$3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=(0,\ 1)$であるとき，$(3,\ -1)$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．