「x^3」について
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私立 津田塾大学 2013年 第2問$f(x)=2x^3-6x+1$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．
(1)$C$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線を$y$軸方向に$+1$平行移動した直線を$\ell$とする．$\ell$と$C$が接するときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線を$y$軸方向に$+1$平行移動した直線を$\ell$とする．$\ell$と$C$が接するときの$a$の値を求めよ．
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{100}}{100!}$とおく．$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とするとき，$99!(f(1)-f^\prime(1))$を求めよ．
(2)放物線$y=2-x^2$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} (x+x^3)\sqrt{1+x^2} \, dx$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{100}}{100!}$とおく．$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とするとき，$99!(f(1)-f^\prime(1))$を求めよ．
(2)放物線$y=2-x^2$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} (x+x^3)\sqrt{1+x^2} \, dx$の値を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数$y=\cos^2 x$のグラフの$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^4 x \log (x+1) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(3)$\displaystyle \int_a^1 \left( \frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3} \right) \, dx=0$を満たす正の定数$a$をすべて求めよ．
(1)関数$y=\cos^2 x$のグラフの$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^4 x \log (x+1) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(3)$\displaystyle \int_a^1 \left( \frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3} \right) \, dx=0$を満たす正の定数$a$をすべて求めよ．
私立 埼玉工業大学 2013年 第3問方程式$2x^3+x^2-2xy+3y^2+y^3=6$で定められる$x$の関数$y$の導関数は，
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{[ ]x^2+[ ]x-[ ]y}{[ ]x-[ ]y-[ ]y^2} \]
である．
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{[ ]x^2+[ ]x-[ ]y}{[ ]x-[ ]y-[ ]y^2} \]
である．
私立 千葉工業大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．
(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．
私立 北海道医療大学 2013年 第3問$3$次関数$f(x)=x^3+2kx^2-kx+1$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつときの$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極値を与える$x$の値を$\alpha,\ \beta$とおく．このとき，$\alpha\beta$，$\alpha+\beta$，$\alpha^2+\beta^2$，$\alpha^3+\beta^3$の値を求めよ．ただし，$\alpha>\beta$とする．
(4)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$k$を用いて表せ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつときの$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極値を与える$x$の値を$\alpha,\ \beta$とおく．このとき，$\alpha\beta$，$\alpha+\beta$，$\alpha^2+\beta^2$，$\alpha^3+\beta^3$の値を求めよ．ただし，$\alpha>\beta$とする．
(4)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$k$を用いて表せ．
私立 広島国際学院大学 2013年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$216^{\frac{1}{3}}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \log_3 3 \sqrt{5}+0.5 \log_3 \frac{9}{5}$を簡単にしなさい．
(3)関数$y=3 x^3+4x^2+5$を微分しなさい．
(4)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int (-x^2+4x+3) \, dx \]
(1)$216^{\frac{1}{3}}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \log_3 3 \sqrt{5}+0.5 \log_3 \frac{9}{5}$を簡単にしなさい．
(3)関数$y=3 x^3+4x^2+5$を微分しなさい．
(4)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int (-x^2+4x+3) \, dx \]
私立 東京電機大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^{1-x} \, dx$を求めよ．
(5)関数$f(x)=x^3 \log x$の極値を求めよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^{1-x} \, dx$を求めよ．
(5)関数$f(x)=x^3 \log x$の極値を求めよ．