以下の各問に答えよ．

(1)$6x^2-2y^2+xy-x+4y-2$を因数分解せよ．
(2)方程式$x^2-x=|x-2|+2$を解け．
(3)$x=3+\sqrt{2},\ y=3-\sqrt{2}$のとき，
$(ⅰ)$ $x^2+y^2$， \quad $(ⅱ)$ $x^3+y^3$， \quad $(ⅲ)$ $x^3-y^3$
の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=9:7:5$とする．$\sin A$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$3$次方程式$x^3+(a+4)x^2+(4a+5)x+20=0$の$1$つの解が$1+2i$であるとき，実数$a=[ア]$であり，$1$つある実数解は$[イ]$である．
(2)$\log_{10}2=0.301$とするとき，$\log_25$の値を小数点$4$桁以下を切り捨て，小数点$3$桁まで求めると$[ウ]$となる．また，$2^n$が$10$桁の数となる最大の自然数$n$は$[エ]$である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は実数の定数）について，次の問に答えよ．

(1)$a$は$a>-3$を満たし，$f(x)$は$x=1$のとき極小値をとる．このとき，$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$のとき，さらに，$y=f(x)$のグラフが点$(0,\ 0)$に関して対称であるとする．このとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，曲線上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{a}{3},\ f \left( -\frac{a}{3} \right) \right)$に関して対称であることを示せ．

$P(x)=x^3-13x^2+ax-60$が$x-2$で割り切れるような$a$の値は$[　]$である．このとき，$P(x)$を因数分解すると，$P(x)=[　]$である．

$f(x)=x^4+3x^3-2x^2+3x+1$とする．$f(x)$が$x^2+ax+1$で割り切れるような$a$の値を求めると$a=[　]$であり，$f(x)=0$の虚数解は$x=[　]$である．

以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$が$x=3$を解にもつとき，
\[ x^3+ax^2+bx+c=(x-3) \left\{ x^2+(a+[ア])x-\frac{[イ]}{[ウ]} c \right\} \]
である．
(2)$(a+3b):(b+3c):(c+3a)=1:2:3$であるとき，$a:b:c=[エオ]:[カ]:9$である．
(3)$3$次方程式$2x^3-6x^2+7x-6=0$の$3$つの解をそれぞれ$2$乗したものの和は，$[キ]$である．

関数$f(x)$を$f(x)=-x^3-3x^2+a$とし，$y=f(x)$で表されるグラフを$C$とする．$C$が極小となる点で$x$軸と接するとき，以下の問に答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$\ell$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x \geqq 0$の部分の面積と$x \leqq 0$の部分の面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)連立方程式

\begin{spacing}{1.8}
$\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{13}{6}=0 \\
\displaystyle \frac{1}{6}xy+x+y=0
\end{array} \right.$
\end{spacing}
の解は，$([ア],\ -[イ])$あるいは$(-[ウ],\ [エ])$である．
(2)$a,\ b$を$0$以外の実数とする．$x$の方程式$x^3+(a-2b)x^2+(b-2ab)x-2b^2=0$の解の$1$つは$2b$である．この方程式が重解をもつとき，$\displaystyle b=\frac{a^2}{[オ]}$あるいは$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}a-\frac{[ク]}{[ケ]}$である．