次の問に答えよ．

(1)曲線$C:y=x^3e^{-x}$の概形をかけ．
(2)原点を通り傾きが正の直線$\ell$は，曲線$C$に点$\mathrm{P}$で接している．このとき，$\ell$の方程式および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}+\frac{4}{3}$を$C_1$，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x^3+a$を$C_2$，$C_2$と$x$軸の交点を通る$y$軸と平行な直線を$L$とする．ただし$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が第一象限で接するとき，$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$に対して，$C_1$と$C_2$と$L$で囲まれた部分の面積を求めよ．

三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け．
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる．整数$a,\ b,\ c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$，$(-2,\ 0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数とする．次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．

$a,\ b$を実数として，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+1$について次の各問に答えよ．

(1)微分係数$f^\prime(0)$，$f^\prime(1)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が$1$となるための$a,\ b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．

$f(x)=x^3-x+5$として，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell$，法線を$n$とする．以下の各問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線のことである．

(1)$\ell,\ n$の方程式をそれぞれ求めよ．
(2)$\ell$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．
(3)$\displaystyle |a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．

$a$を実数とする．直線$y=3x-a$を$\ell$とし，曲線$y=2x^3-3x$を$C$とする．

(1)$a=0$のとき，直線$\ell$と曲線$C$の共有点の座標を求めなさい．
(2)直線$\ell$と曲線$C$の共有点の個数が$3$個となるように$a$の範囲を求めなさい．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$

$3$次の整式$P(x)$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たしている．

$(ⅰ)$ $P(x)$の$x^3$の係数は$1$である．
$(ⅱ)$ $P(x)$は$(x-1)^2$で割り切れる．
$(ⅲ)$ $P(x)$を$x+1$で割った余りと，$x^2-x-2$で割った余りは等しい．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)$P(x)$を求めよ．
(2)$\{P(x)\}^2$を$(x+1)^2$で割った余りを求めよ．

$3$次関数$f(x)=-x^3-x^2+8x+1$について，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数
\[ y=-(\sin \theta+\cos \theta)^3-(\sin \theta+\cos \theta)^2+8(\sin \theta+\cos \theta)+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．