$a,\ b$を実数の定数とする．関数$f(x)=-x^3+3x^2+ax+b$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$(2)$において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．

$(4x^3-2x^2+3)^3$を$x^2-x+1$で割ったときの余りを求めよ．

$x^3=1$の解のうち$1$でないものの$1$つを$\omega$とし，$y=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3$を考える．$x_1$，$x_2$，$x_3$に$1$から$3$までの自然数を重複を許さないように代入するとき$y$が取り得る値は何通りあるか．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

区間$-1 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の$(1)$から$(8)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)点$(2,\ 1)$から$3x-4y=5$までの距離は$[　]$である．
(2)サイコロを$3$回ふったとき出た目を$a,\ b,\ c$とすると，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$となるときの確率は$[　]$である．
(3)数列$3,\ 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ \cdots$の第$n$項は$[　]$となる．
(4)正の実数$x,\ y$が$x+y-2=0$を満たすとき，$xy$の値の取り得る範囲は$[ア]<xy \leqq [イ]$となる．
(5)$2x^3-x^2-5x-2=0$を解くと，$x=[　],\ [　],\ [　]$となる．
(6)$\sqrt{11-\sqrt{96}}$の二重根号をはずし，簡単にすると$[　]$となる．
(7)$2 \sin^2 x-\cos 2x-\cos^2 x=\sin^2 x$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(8)$\log_3 x-3 \log_x 9=-1$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$x>0,\ x \neq 1$とする．

$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$について，$f(x)$が$x=-1$で極大値$\displaystyle \frac{5}{3}$をとり，$x=3$で極小値$-9$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

実数$a,\ x,\ y,\ z$が
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x+y+z=a \\
x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14 \\
x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18
\end{array}
\right. \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy+yz+zx$および$xyz$を$a$の式で表せ．
(2)$x,\ y,\ z$のうち少なくとも2つが等しいとき，$a,\ x,\ y,\ z$を求めよ．

$k$を実数とする．$3$次式$f(x)=x^3-kx^2-1$に対し，方程式$f(x)=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$g(x)$は$x^3$の係数が$1$である$3$次式で，方程式$g(x)=0$の$3$つの解が$\alpha\beta,\ \beta\gamma,\ \gamma\alpha$であるものとする．

(1)$g(x)$を$k$を用いて表せ．
(2)$2$つの方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつような$k$の値を求めよ．