$2$つの関数

$f(x)=2x^3-3x^2-12x$
$g(x)=-9x^2+6x+a$

に対して，次の問に答えよ．ただし$a$は定数とする．

(1)$f(x)$の極大値および極小値を与える$x$の値をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha$および$\beta$の値を求めよ．
(2)任意の$x>\alpha$に対して，$f(x) \geqq g(x)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(3)任意の$x_1>\alpha$および任意の$x_2>\alpha$に対して，$f(x_1) \geqq g(x_2)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-ax-b$について，次の問に答えよ．

(1)$a>0$であるとき，$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を示せ．

(i) $27b^2-4a^3>0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつ．
(ii) $27b^2-4a^3=0$かつ$a>0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
(iii) $27b^2-4a^3<0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつ．

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき，極値を求めよ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$S_1$を求めよ．
(4)$0<k<1$とする．直線$y=kx$と$y=f^\prime(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$の式で表せ．
(5)$S_2$が$S_1$の$\displaystyle \frac{1}{8}$となるときの$k$の値を求めよ．

次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．

(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x=p$で極大値$f(p)$，$x=1$で極小値$-4$をとるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は定数とする．次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を$p$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．接線$\ell$の傾きを$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$の接線$\ell$が点$(2p,\ f(2p))$を通るとき，$p$の値を求めよ．また，このとき極大値$f(p)$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．

$k$を正の定数とする．$f(x)=2x^3-12kx^2+18k^2x$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

$a$を実数とする．極値を持つ$3$次関数$f(x)=x^3-ax$について考える．$3$次関数$y=f(x)$が極値を持つための$a$の満たすべき条件は$[ア]$であり，そのとき，極小値は$[イ]$である．このとき，座標平面で曲線$C:y=f(x)$上の原点以外の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における曲線$C$の接線$L$の方程式は$[ウ]$と表せる．また，曲線$C$と接線$L$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の$x$座標$q$は，$q=[エ]$となる．また，点$\mathrm{P}$と異なる曲線$C$上の点$\mathrm{R}(r,\ f(r))$における接線が接線$L$と平行であるとき，$r=[オ]$である．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$M$を求めると$M=[カ]$である．さらに，曲線$C$を$x$軸正の方向に$t (t>0)$だけ平行移動した曲線を$D$とするとき，この$2$曲線$C$と$D$とが異なる$2$つの共有点を持つための$t$の満たすべき条件は$[キ]$である．そのときの$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，$\alpha=[ク]$であり，$\beta=[ケ]$となる．このとき，$2$曲線$C$と$D$とで囲まれる図形の面積$S$を求めると$S=[コ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$(a+b)^3-3ab(a+b)$を計算せよ．
(2)$(1)$を用いて$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ．
(3)$x^3-6x+9$を因数分解せよ．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx-8$と$g(x)=x^2-4x+8$がある．$f(x)$は$x=2$で極大値$0$をとり，$x=p$で極小値$f(p)$をとる．また，曲線$y=f(x)$が点$(1,\ -4)$を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．