「x^3」について
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私立 自治医科大学 2014年 第21問関数$y=ax^4-4ax^3+b$（$a,\ b$とも実数，$a>0$）の$1 \leqq x \leqq 4$における最大値が$3$，最小値が$-24$となるとき，$a+b$の値を求めよ．
私立 東北工業大学 2014年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3-ax^2-3bx-10$がある．
(1)関数$f(x)$が$x=-2,\ 4$で極値をとるならば，$a=[マ][ミ]$，$b=[ム][メ]$である．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが点$(3,\ -1)$を通り，この点における接線の傾きが$3$であるならば，$a=[モ][ヤ]$，$b=-[ユ][ヨ]$である．
(3)$a+b=0$のとき，関数$f(x)$が常に増加するならば，$0 \leqq a \leqq [ラ][リ]$である．
(1)関数$f(x)$が$x=-2,\ 4$で極値をとるならば，$a=[マ][ミ]$，$b=[ム][メ]$である．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが点$(3,\ -1)$を通り，この点における接線の傾きが$3$であるならば，$a=[モ][ヤ]$，$b=-[ユ][ヨ]$である．
(3)$a+b=0$のとき，関数$f(x)$が常に増加するならば，$0 \leqq a \leqq [ラ][リ]$である．
私立 東北学院大学 2014年 第1問次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき$\displaystyle x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=[ア]$である．
(2)$6^{50}$は$[イ]$桁の数である．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．$2 \sin^2 x+3 \sin x-2<0$となる$x$の範囲を求めると$[ウ]$となる．
(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき$\displaystyle x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=[ア]$である．
(2)$6^{50}$は$[イ]$桁の数である．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．$2 \sin^2 x+3 \sin x-2<0$となる$x$の範囲を求めると$[ウ]$となる．
私立 埼玉工業大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)=x^3-7x^2+14x-8$は$x-4$で割り切れる．$P(x)=x^3-7x^2+14x-8=0$の解は小さい順に$[メ]$，$[モ]$，$[ヤ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$y=-8 \sin x \cos 2x-12 \sin^2 x+8 \sin x$は，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ユ]}$のとき，最大値$y=[ヨ]$をとり，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ラ]}$のとき，最小値$y=[リル]$をとる．
(3)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$1$回だけ出る確率は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロワ]}$である．
(1)整式$P(x)=x^3-7x^2+14x-8$は$x-4$で割り切れる．$P(x)=x^3-7x^2+14x-8=0$の解は小さい順に$[メ]$，$[モ]$，$[ヤ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$y=-8 \sin x \cos 2x-12 \sin^2 x+8 \sin x$は，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ユ]}$のとき，最大値$y=[ヨ]$をとり，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ラ]}$のとき，最小値$y=[リル]$をとる．
(3)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$1$回だけ出る確率は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロワ]}$である．
私立 北海道薬科大学 2014年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-3ax$（$a$は実数）が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値（$\alpha,\ \beta$は実数）をとるとき，次の設問に答えよ．
(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
私立 千葉工業大学 2014年 第2問次の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．
私立 近畿大学 2014年 第2問条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
私立 福岡大学 2014年 第1問$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，実数$a,\ b$を求めると，$(a,\ b)=[ ]$である．また，$3$次方程式$2x^3-5x^2+cx+d=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，この$3$次方程式の実数解は$x=[ ]$である．ただし，$c,\ d$は実数とする．
私立 近畿大学 2014年 第2問条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
私立 金沢工業大学 2014年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$k$を定数とする．整式$3x^3+16x^2+35x+k$を整式$A$で割ると，商が$x+3$で，余りが$5x-7$である．このとき，$k=[アイ]$であり，$A=[ウ]x^2+[エ]x+[オ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$-2,\ -1 \pm \sqrt{2}i$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(1)$k$を定数とする．整式$3x^3+16x^2+35x+k$を整式$A$で割ると，商が$x+3$で，余りが$5x-7$である．このとき，$k=[アイ]$であり，$A=[ウ]x^2+[エ]x+[オ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$-2,\ -1 \pm \sqrt{2}i$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．