$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+1$を考え，$C$上の点$(1,\ 3)$を$\mathrm{P}_0$とする．$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{k-1}(x_{k-1},\ y_{k-1})$における$C$の接線と$C$の交点のうちで$\mathrm{P}_{k-1}$と異なる点を$\mathrm{P}_k(x_k,\ y_k)$とする．このとき，$\mathrm{P}_{k-1}$と$\mathrm{P}_k$を結ぶ線分と$C$によって囲まれた部分の面積を$S_k$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$x_k$を$k$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ．

$f(x)=x^3-x$とする．$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{P}(a,\ b)$から引いた接線は$3$本あるとする．$3$つの接点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\gamma,\ f(\gamma))$を頂点とする三角形の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\alpha+\beta+\gamma$，$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$および$\alpha\beta\gamma$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{G}$の$x$座標が正で，$y$座標が負となるような点$\mathrm{P}$の範囲を図示せよ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{1}{2}x$とする．曲線$C:y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$，$\mathrm{Q}(-t,\ f(-t))$ $(t>0)$をとり，点$\mathrm{P}$における接線と法線，および，点$\mathrm{Q}$における接線と法線によって囲まれる図形を$A$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$，法線を$\ell_2$とし，原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$，$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1,\ d_2$とおく．$d_1,\ d_2$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$d_1,\ d_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とするとき，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a=1,\ b=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線で点$(-1,\ 1)$を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点の$x$座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフが傾き$1$の接線をちょうど$2$本持つための条件を，実数の組$(a,\ b)$を座標平面上に図示することで与えよ．

$a,\ b$を実数とするとき，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a=1,\ b=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線で点$(-1,\ 1)$を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点の$x$座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフが傾き$1$の接線をちょうど$2$本持つための条件を，実数の組$(a,\ b)$を座標平面上に図示することで与えよ．

次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．
\[ \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=-1 \]
(2)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\log (x^2+2x+1) \]
(3)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int \frac{2x^2}{x^3+1} \, dx \]
(4)$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．

曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．