次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^3 \cos (x^2) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<1$のとき，不等式
\[ \left( \frac{x+1}{2} \right)^{x+1}<x^x \]
が成り立つことを示せ．

$a,\ b$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+ax^2+x-2$と直線$\ell:y=bx-2$が異なる$3$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$3$つの交点それぞれにおける$C$の接線の中に，傾きが$1$より大きいものと，$1$より小さいものがどちらも存在するための$a,\ b$の条件を求め，その条件をみたす$ab$平面上の点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．

$t$を実数とする．$y=x^3-x$のグラフ$C$へ点$\mathrm{P}(1,\ t)$から接線を引く．

(1)接線がちょうど$1$本だけ引けるような$t$の範囲を求めよ．
(2)$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$\mathrm{P}(1,\ t)$から$C$へ引いた接線と$C$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の取りうる値の範囲を求めよ．

$a$を定数とする．$2$次関数$f(x)$は等式
\[ f(x)=6(a+1)x^2-12x \int_0^1 f(t) \, dt+5a-2 \]
を満たすとする．このとき，$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)=-4x^3+f(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)$3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

$f(x)$と$g(x)$は$x$の整式で
\[ \begin{array}{l}
f(x)-f(0)=4x^3-5x^2+2x, \\
(2x-1)\{g(x)-g(0)\}=f(x)+2 \int_0^x (x-t)g^\prime(t) \, dt+\int_0^2 g(t) \, dt
\end{array} \]
を満たすとする．ただし，$g^\prime(t)$は$g(t)$の導関数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)等式
\[ -\{g(x)-g(0)\}=f(x)-2 \int_0^x tg^\prime(t) \, dt+\int_0^2 g(t) \, dt \]
が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)$が極小値$\displaystyle \frac{9}{4}$をとるとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{1}{2}x$とする．曲線$C:y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$，$\mathrm{Q}(-t,\ f(-t)) (t>0)$をとり，点$\mathrm{P}$における接線と法線，および，点$\mathrm{Q}$における接線と法線によって囲まれる図形を$A$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$，法線を$\ell_2$とし，原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$，$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1$，$d_2$とおく．$d_1$，$d_2$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$d_1$，$d_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．

$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．

$2$次方程式$x^2-x-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，
\[ c_n=\alpha^n+\beta^n,\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$n$を$2$以上の自然数とするとき，
\[ c_{n+1}=c_n+c_{n-1} \]
となることを示せ．
(2)曲線$y=c_1x^3-c_3x^2-c_2x+c_4$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=c_1x^2-c_3x+c_2$と，$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$f(x)=x^4-4x^3-8x^2$とする．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそのときの$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に$2$点$(a,\ f(a))$と$(b,\ f(b)) (a<b)$で接する直線の方程式を求めよ．