$a,\ b$を実数として，$3$次関数$f(x)=x^3-ax^2+3bx-10$は$x=1$で極値をとるとする．

(1)$\displaystyle a=\frac{[ア]}{[イ]}b+\frac{[ウ]}{[エ]}$であり，$b \neq [オ]$である．

(2)$3$次方程式$x^3-ax^2+3bx-10=0$が異なる$3$つの実数解をもつのは
\[ b<-[カ],\quad [キ]<b \]
のとき，すなわち
\[ a<-\frac{[ク]}{[ケ]},\quad [コ][サ]<a \]
のときである．

次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を実数として，$\sin \alpha$が$8{(\sin \alpha)}^3-6 \sin \alpha-1=0$をみたすとき，
\[ \sin (3 \alpha)=-\frac{[ア]}{[イ]} \]
となる．
(2)$3$次方程式$8x^3-6x-1=0$の異なる$3$つの解は
\[ \sin \left( \frac{[ウ]}{[エ][オ]}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]}\pi \right) \]
である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ][オ]}<\frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}<\frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]} \leqq \frac{5}{3}$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．

(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．

（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，

$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$

である．
(3)$a>1$とする．数列

$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群

において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．

\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．

$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．

\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．

$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．

\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．

$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．


\begin{screen}
選択肢：

\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}

\end{screen}

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell$とする．ただし，$p \neq 3$とする．放物線$C:y=ax^2+bx+c$は点$(3,\ 0)$を通り，直線$\ell$と$\mathrm{P}$で接する．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p$の式で表すと，
\[ a=[セ]p,\ b=[ソ]p^2+[タ]p+[チ],\ c=[ツ]p^2+[テ] \]
である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき，
\[ S_1-S_2=\frac{25}{24}\left( [ト]p^2+[ナ]p+[ニ] \right) \]
であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は
\[ p=\frac{[ヌ]}{[ネ]}+\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \]
である．
(3)$p=1$のとき，
\[ S_1+S_2=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．

(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．

曲線$C:y=x^3$上に，次のようにして点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$をとる．

(i) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする．
(ii) $\mathrm{P}_n$を通り，$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき，その直線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする．

点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき，次の問に答えよ．


(1)直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ト]}{[ナ]}x_n$である．

(2)$\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ニ]$である．
(3)$\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ヌ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\cos 3 \theta$を$\cos \theta$のみの式で表せ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $3$次関数$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{3}{4}x$について増減表を書き，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $y=f(x)$のグラフと直線$y=k$が共有点を$2$つまたは$3$つもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
また，$k$がこの範囲を動くとき，共有点の$x$座標のとる値の範囲を求めよ．

(3)$3$次方程式$\displaystyle x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}=0$の解を$x=\cos \theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とおくとき，$\theta$の値を求めよ．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，

$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，

$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．

(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．

$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．


(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．

すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$

(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$

$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$

$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$

座標平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+ax$は，直線$\ell_1:y=-x$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$で接している．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell_1$と$C$の共有点で$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を通る$C$の接線$\ell_2$と$C$の共有点で点$\mathrm{P}$以外の点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{Q}$を通る$C$の接線$\ell_3$と$C$の共有点で点$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．