「x^3」について
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国立 静岡大学 2015年 第3問関数$f(x)=x^3-9x^2+24x$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2)$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．
(1)$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2)$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．
国立 熊本大学 2015年 第4問$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第1問$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第3問$m$を実数とする．$x$に関する方程式
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第4問$m$を実数とする．$x$に関する方程式
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．
国立 小樽商科大学 2015年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
国立 小樽商科大学 2015年 第2問曲線$T:y=x^3+6x^2$について，次の問いに答えよ．
(1)点$(2,\ a)$を通る曲線$T$への接線の本数$L$を求めよ．ただし$a>0$とする．
(2)この$L$が$2$本のとき，接点の$x$座標が小さい方の接線と，曲線$T$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)点$(2,\ a)$を通る曲線$T$への接線の本数$L$を求めよ．ただし$a>0$とする．
(2)この$L$が$2$本のとき，接点の$x$座標が小さい方の接線と，曲線$T$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．
国立 愛媛大学 2015年 第3問$a$を自然数とし，関数$f(x)=x^3+2x^2+ax+4$は$x=x_1$で極大，$x=x_2$で極小になるものとする．また，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$の中点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．
(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．