タグ「x^2」の検索結果

10ページ目:全2330問中91問~100問を表示)
佐賀大学 国立 佐賀大学 2016年 第3問
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(4,\ 0)$,$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとる.ただし,$0<t<4$とする.さらに放物線$C:y=-x^2+7x$上に$2$点$\mathrm{B}(4,\ 12)$,$\mathrm{Q}(t,\ -t^2+7t)$をとる.$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$f(t)$とし,放物線$C$,線分$\mathrm{PQ}$,線分$\mathrm{OP}$によって囲まれた図形の面積を$g(t)$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)$f(t)$を$t$を用いて表せ.
(2)$g(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)$h(t)=f(t)+g(t)$とおく.$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問
以下では$n$は$0$以上の整数とする.関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.

(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問
関数$f(x)=x^2e^x (x>-3)$を考える.


(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて,そのグラフをかけ.

(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ e)$における接線の方程式を求めよ.

(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^x \, dx$を求めよ.

(4)曲線$y=f(x)$と$(2)$で求めた接線と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問
以下では$n$は$0$以上の整数とする.関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.

(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第2問
$a$を$0$でない実数とする.$2$つの放物線$y=x^2$,$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある.

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい.
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき,$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい.
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい.
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第2問
$a$を$0$でない実数とする.$2$つの放物線$y=x^2$,$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある.

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい.
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき,$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい.
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい.
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第2問
自然数$n$に対して関数$y=2nx-x^2$のグラフと$x$軸で囲まれた領域(境界線を含む)$R_n$を考える.以下の問いに答えなさい.

(1)領域$R_n$に含まれる格子点($x$座標と$y$座標がともに整数である点)の数$S_n$を求めなさい.
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(2n,\ 0)$,および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域(境界線を含む)に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい.
琉球大学 国立 琉球大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)整式$P(x)$は,$\displaystyle P \left( \frac{5}{3} \right)=\frac{8}{3}$と$\displaystyle P \left( -\frac{7}{2} \right)=-\frac{5}{2}$を満たす.$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ.
(2)座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 3,\ 0)$,$\mathrm{C}(1,\ s,\ t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$,原点を$\mathrm{O}$とする.$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AG}$,$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ.
(3)変量$x$の値が$x_1,\ x_2,\ x_3$のとき,その平均値を$\overline{x}$とする.分散$s^2$を
\[ \frac{1}{3}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2 \} \]
で定義するとき,$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$となることを示せ.ただし$\overline{x^2}$は${x_1}^2,\ {x_2}^2,\ {x_3}^2$の平均値を表す.
琉球大学 国立 琉球大学 2016年 第2問
座標平面上の原点$\mathrm{O}$,$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$の$3$点を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C_1$とし,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする.次の問いに答えよ.

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(2)放物線$C_1$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(3)放物線$C_1$と円$C_2$で囲まれた図形のうち,放物線$C_1$の上側の部分の面積を求めよ.
琉球大学 国立 琉球大学 2016年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)自然数$n$に対して$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ.
(2)$x>0$のとき,不等式$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x+\log (1+x)} \, dx$を求めよ.
スポンサーリンク

「x^2」とは・・・

 まだこのタグの説明は執筆されていません。