九州大学
2012年 文系 第2問
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関数$f(x) = x^3+3x^2+x-1$を考える.曲線$C:y=f(x)$について,以下の問いに答えよ.
(1) $t \geqq 0$のとき,曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ.
(2) (1)において,傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を,それぞれP$(p,\ f(p))$,Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$).このとき,点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ.
(3) $t \geqq 0$のとき,$2$点P,Qの間の距離の最小値を求めよ.また,最小値を与えるときのP,Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ.
(1) $t \geqq 0$のとき,曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ.
(2) (1)において,傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を,それぞれP$(p,\ f(p))$,Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$).このとき,点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ.
(3) $t \geqq 0$のとき,$2$点P,Qの間の距離の最小値を求めよ.また,最小値を与えるときのP,Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ.
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