南山大学
2012年 経営学部 第1問
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$\fbox{}$の中に答を入れよ.
(1) $\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$\fbox{ア}$であり, \\ $\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$\fbox{イ}$である.
(2) 整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$,$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる.このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると,余りは$\fbox{ウ}$となる.また,$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると,余りは$\fbox{エ}$となる.
(3) 関数$f(x)=x^3+3ax^2+b \ \ (b>0)$があり,方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ.このとき,実数$a$と$b$が満たす関係は$\fbox{オ}$であり,$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$\fbox{カ}$である.
(4) 面積が$S$の正方形がある.この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり,これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる.この操作によってできる新たな正方形の面積は$\fbox{キ}$である.新たにできた正方形に同じ操作をほどこして,さらに新しい正方形をつくる.この操作を少なくとも$\fbox{ク}$回おこなうと,最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(5) 放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をとり,$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする.$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし,線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる($0<t<1$).$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が,$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$,放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき,$\mathrm{QR}$の長さは$\fbox{ケ}$であり,$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=\fbox{コ}$である.
(1) $\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$\fbox{ア}$であり, \\ $\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$\fbox{イ}$である.
(2) 整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$,$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる.このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると,余りは$\fbox{ウ}$となる.また,$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると,余りは$\fbox{エ}$となる.
(3) 関数$f(x)=x^3+3ax^2+b \ \ (b>0)$があり,方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ.このとき,実数$a$と$b$が満たす関係は$\fbox{オ}$であり,$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$\fbox{カ}$である.
(4) 面積が$S$の正方形がある.この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり,これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる.この操作によってできる新たな正方形の面積は$\fbox{キ}$である.新たにできた正方形に同じ操作をほどこして,さらに新しい正方形をつくる.この操作を少なくとも$\fbox{ク}$回おこなうと,最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(5) 放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をとり,$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする.$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし,線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる($0<t<1$).$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が,$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$,放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき,$\mathrm{QR}$の長さは$\fbox{ケ}$であり,$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=\fbox{コ}$である.
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