豊橋技術科学大学
2011年 工学部 第1問
1
1
三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$は辺$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$の長さが$a$,$\angle \mathrm{A}_0=60^\circ$,$\angle \mathrm{B}_0=90^\circ$の直角三角形であり,三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$は辺${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime$の長さが$a$,$\angle {\mathrm{A}_0}^\prime=45^\circ$,$\angle {\mathrm{B}_0}^\prime=90^\circ$の直角三角形である.右図に示すように三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の$3$つの辺上にそれぞれ点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{B}_1$をとり,正方形$\mathrm{B}_0 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$を作る.次に,三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$の$3$つの辺上に点$\mathrm{D}_2$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{B}_2$をとり,正方形$\mathrm{B}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$を作る.これを繰り返し,正方形$\mathrm{B}_{j-1} \mathrm{D}_j \mathrm{A}_j \mathrm{B}_j$を作る.その正方形の面積を$S_j$とおく.ただし,$j=1,\ 2,\ \cdots$である.同様な操作で,三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$にも正方形${\mathrm{B}_{j-1}}^\prime {\mathrm{D}_j}^\prime {\mathrm{A}_j}^\prime {\mathrm{B}_j}^\prime$を作り,その正方形の面積を${S_j}^\prime$とおく.これらの図形について以下の問いに答えよ.
\imgc{410_1079_2011_1}
(1) $S_1$を$a$を用いた式で示せ.
(2) $S_j$を$a$と$j$を用いた式で示せ.
(3) 三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき,正方形の面積の総和$S_\mathrm{T}$が三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の面積$S_0$に占める割合を求めよ.
(4) $\displaystyle c_j=\frac{S_{j+2}}{{S_j}^\prime}$で定義される一般項$c_j$を持つ無限級数は,収束するか発散するかを,根拠を式で示した上で答えよ.
(1) $S_1$を$a$を用いた式で示せ.
(2) $S_j$を$a$と$j$を用いた式で示せ.
(3) 三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき,正方形の面積の総和$S_\mathrm{T}$が三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の面積$S_0$に占める割合を求めよ.
(4) $\displaystyle c_j=\frac{S_{j+2}}{{S_j}^\prime}$で定義される一般項$c_j$を持つ無限級数は,収束するか発散するかを,根拠を式で示した上で答えよ.
類題(関連度順)
コメント(1件)
2015-02-11 11:41:21
解答を作ってもらえないでしょうか |
書き込むにはログインが必要です。