上智大学
2011年 理工学部 第3問
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![座標平面において,動点Pの座標(x,y)が時刻tの関数としてx=t^{1/4}(1-t)^{3/4},y=t^{3/4}(1-t)^{1/4}(0≦t≦1)で与えられている.(1)動点Pのx座標が最大になるのはt=\frac{[ナ]}{[ニ]}のときであり,y座標が最大になるのはt=\frac{[ヌ]}{[ネ]}のときである.(2)0<t<1のとき,動点Pの速さの最小値は\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}である.(3)動点Pが直線y=x上に来るのはt=0のとき,t=\frac{[ヒ]}{[フ]}のとき,t=1のときの3回である.(4)tが0≦t≦1の範囲を動くとき,動点Pの描く曲線をLとする.Lで囲まれる図形の面積は\frac{[ヘ]}{[ホ]}である.](./thumb/220/163/2011_3.png)
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座標平面において,動点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t^{\frac{1}{4}} (1-t)^{\frac{3}{4}},\quad y=t^{\frac{3}{4}} (1-t)^{\frac{1}{4}} \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている.
(1) 動点$\mathrm{P}$の$x$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$のときであり,$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}$のときである.
(2) $0<t<1$のとき,動点$\mathrm{P}$の速さの最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ノ}}}{\fbox{ハ}}$である.
(3) 動点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に来るのは$t=0$のとき,$\displaystyle t=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$のとき,$t=1$のときの$3$回である.
(4) $t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,動点$\mathrm{P}$の描く曲線を$L$とする.$L$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$である.
(1) 動点$\mathrm{P}$の$x$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$のときであり,$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}$のときである.
(2) $0<t<1$のとき,動点$\mathrm{P}$の速さの最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ノ}}}{\fbox{ハ}}$である.
(3) 動点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に来るのは$t=0$のとき,$\displaystyle t=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$のとき,$t=1$のときの$3$回である.
(4) $t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,動点$\mathrm{P}$の描く曲線を$L$とする.$L$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$である.
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