駒澤大学
2015年 仏教(仏教)文(地理)T方式 第2問
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$1,\ 2,\ 3$の数字がひとつずつ書かれた$3$つの球が袋に入っている.まず,$\mathrm{A}$君が袋から球をひとつ取り出し,数字を記録して袋に戻す.次に,$\mathrm{B}$君が袋から球をひとつ取り出し,数字を記録して袋に戻す.この試行をくり返し行う.以下では,$k$回目($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)の試行において$2$人が記録した数字の和を$X_k$とする.
(1) この試行を$1$回行う.$X_1$が$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であり,$5$以上になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である.
(2) この試行を$2$回くり返す.$X_1$と$X_2$がともに$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$である.
(3) この試行を$3$回くり返す.$X_1,\ X_2,\ X_3$のうち,
(ⅰ) 少なくともひとつが$5$以上になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{キ}\fbox{ク}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$,
(ⅱ) 最大値が$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{サ}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$,
(ⅲ) 最大値がちょうど$4$になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{シ}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$
である.
(4) この試行を$5$回くり返す.$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_5$のうち,ちょうど$4$つが$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ス}\fbox{セ}}{{\fbox{ソ}}^5}$である.
(5) この試行を$10$回くり返す.$X_1 \geqq 5$であり,$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_{10}$のうち,ちょうど$2$つが$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{タ}\fbox{チ}}{{\fbox{ソ}}^{\mkakko{ツ}}}$である. この試行をくり返しながら,次のゲームを行う.$k$回目の試行で$X_k$が$5$以上なら$\mathrm{A}$君が$3$点を得て,$4$以下なら$\mathrm{B}$君が$2$点を得る.合計点が先に$6$点となった方を勝者とし,その回でゲームを終了する.このゲームは最大でも$\fbox{テ}$回の試行をくり返すと終了する.
(ⅰ) $\mathrm{B}$君が勝つ確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ト}\fbox{ナ}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$である.
(ⅱ) このゲームがちょうど$\fbox{テ}$回目で終了する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$である.
(1) この試行を$1$回行う.$X_1$が$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であり,$5$以上になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である.
(2) この試行を$2$回くり返す.$X_1$と$X_2$がともに$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$である.
(3) この試行を$3$回くり返す.$X_1,\ X_2,\ X_3$のうち,
(ⅰ) 少なくともひとつが$5$以上になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{キ}\fbox{ク}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$,
(ⅱ) 最大値が$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{サ}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$,
(ⅲ) 最大値がちょうど$4$になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{シ}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$
である.
(4) この試行を$5$回くり返す.$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_5$のうち,ちょうど$4$つが$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ス}\fbox{セ}}{{\fbox{ソ}}^5}$である.
(5) この試行を$10$回くり返す.$X_1 \geqq 5$であり,$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_{10}$のうち,ちょうど$2$つが$4$以下になる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{タ}\fbox{チ}}{{\fbox{ソ}}^{\mkakko{ツ}}}$である. この試行をくり返しながら,次のゲームを行う.$k$回目の試行で$X_k$が$5$以上なら$\mathrm{A}$君が$3$点を得て,$4$以下なら$\mathrm{B}$君が$2$点を得る.合計点が先に$6$点となった方を勝者とし,その回でゲームを終了する.このゲームは最大でも$\fbox{テ}$回の試行をくり返すと終了する.
(ⅰ) $\mathrm{B}$君が勝つ確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ト}\fbox{ナ}}{\fbox{ケ}\fbox{コ}}$である.
(ⅱ) このゲームがちょうど$\fbox{テ}$回目で終了する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$である.
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