首都大学東京
2013年 都市教養(理系) 第2問
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![実数aに対しI=∫_0^1|xe^x-a|dxとする.以下の問いに答えなさい.ただし,eは自然対数の底とする.(1)0<a<eのとき,te^t=aを満たす実数t(0<t<1)がただ1つ存在することを示しなさい.(2)0<a<eのとき,Iの値を(1)のtを用いて表しなさい.(3)aがすべての実数を動くとき,Iの値を最小にするaとそのときのIの値を求めなさい.](./thumb/188/1481/2013_2.png)
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実数$a$に対し
\[ I=\int_0^1 |xe^x-a| \, dx \]
とする.以下の問いに答えなさい.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) $0<a<e$のとき,$te^t=a$を満たす実数$t \ \ (0<t<1)$がただ$1$つ存在することを示しなさい.
(2) $0<a<e$のとき,$I$の値を$(1)$の$t$を用いて表しなさい.
(3) $a$がすべての実数を動くとき,$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい.
(1) $0<a<e$のとき,$te^t=a$を満たす実数$t \ \ (0<t<1)$がただ$1$つ存在することを示しなさい.
(2) $0<a<e$のとき,$I$の値を$(1)$の$t$を用いて表しなさい.
(3) $a$がすべての実数を動くとき,$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい.
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