島根大学
2011年 総合理工(数理・情報システム) 第2問
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![半径1の球をO_1とし,球O_1に内接する立方体をB_1とする.次に立方体B_1に内接する球をO_2とし,球O_2に内接する立方体をB_2とする.以下この操作を繰り返してできる球をO_n,立方体をB_n(n=3,4,・・・)とする.このとき,次の問いに答えよ.(1)立方体B_1の1辺の長さl_1を求めよ.(2)球O_nの半径r_nをnを用いて表せ.(3)球O_nの体積をV_nとし,S_k=V_1+V_2+・・・+V_kとするとき,\lim_{k→∞}S_kを求めよ.](./thumb/610/2756/2011_2.png)
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半径1の球をO$_1$とし,球O$_1$に内接する立方体をB$_1$とする.次に立方体B$_1$に内接する球をO$_2$とし,球O$_2$に内接する立方体をB$_2$とする.以下この操作を繰り返してできる球をO$_n$,立方体をB$_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 立方体B$_1$の1辺の長さ$l_1$を求めよ.
(2) 球O$_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ.
(3) 球O$_n$の体積を$V_n$とし,$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき,$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ.
(1) 立方体B$_1$の1辺の長さ$l_1$を求めよ.
(2) 球O$_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ.
(3) 球O$_n$の体積を$V_n$とし,$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき,$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ.
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