島根大学
2014年 医学部 第1問
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![3つの箱X,Y,Zと3つの玉a,b,cがあり,1つの箱には1つの玉が入るとする.箱Xにはaが,箱Yにはbが,箱Zにはcが入っている状態から始めて,次の操作を繰り返し行う.「数字1,2,3,4,5の中から無作為に1つの数字mを選ぶ.m=1ならば,箱Y,Zにある玉をそれぞれ箱Z,Yに移す.m=2ならば,箱X,Zにある玉をそれぞれ箱Z,Xに移す.m=3ならば,箱X,Yにある玉をそれぞれ箱Y,Xに移す.m=4ならば,箱X,Y,Zにある玉をそれぞれ箱Y,Z,Xに移す.m=5ならば,箱X,Y,Zにある玉をそれぞれ箱Z,X,Yに移す.」この操作をn回繰り返したあとに3つの玉が最初の状態に戻っている確率をp_nとする.箱X,Y,Zにそれぞれ玉x,y,zが入っている状態を(x,y,z)と表す.たとえば,最初の状態は(a,b,c)である.このとき,次の問いに答えよ.(1)1回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ,p_1,p_2を求めよ.(2)n回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態(a,b,c)となっていない確率をq_nとする.n≧1のとき,p_{n+1}=1/5q_nが成り立つことを示せ.(3)p_nを求めよ.](./thumb/610/2757/2014_1.png)
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$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり,$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする.箱$X$には$a$が,箱$Y$には$b$が,箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて,次の操作を繰り返し行う.
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ.$m=1$ならば,箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す.$m=2$ならば,箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す.$m=3$ならば,箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す.$m=4$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す.$m=5$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す.」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする.箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す.たとえば,最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ,$p_1$,$p_2$を求めよ.
(2) $n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする.$n \geqq 1$のとき,$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ.
(3) $p_n$を求めよ.
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ.$m=1$ならば,箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す.$m=2$ならば,箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す.$m=3$ならば,箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す.$m=4$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す.$m=5$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す.」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする.箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す.たとえば,最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ,$p_1$,$p_2$を求めよ.
(2) $n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする.$n \geqq 1$のとき,$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ.
(3) $p_n$を求めよ.
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