東京工業大学
2015年 理系 第1問
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数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots +na_n}{1+2+\cdots +n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．
(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2) すべての$n$に対して，不等式$\displaystyle b_n \leqq 3+\frac{4}{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2) すべての$n$に対して，不等式$\displaystyle b_n \leqq 3+\frac{4}{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
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