富山大学
2014年 医学部 第1問
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自然数$n$に対して,$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x \frac{dt}{(t^2+1)^n}$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $f_1(1)$を求めよ.
(2) $\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく.$g^\prime(x)$を求め,$x>0$のとき \[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ.
(4) 部分積分法を用いて, \[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \] が成り立つことを示せ.
(5) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi \ \ (n \geqq 2)$であることを示せ.ただし,$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする.
(1) $f_1(1)$を求めよ.
(2) $\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく.$g^\prime(x)$を求め,$x>0$のとき \[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ.
(4) 部分積分法を用いて, \[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \] が成り立つことを示せ.
(5) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi \ \ (n \geqq 2)$であることを示せ.ただし,$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする.
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