名古屋大学
2016年 理系 第4問
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![次の問に答えよ.ただし2次方程式の重解は2つと数える.(1)次の条件(*)を満たす整数a,b,c,d,e,fの組をすべて求めよ.(*){\begin{array}{l} 2次方程式x^2+ax+b=0の2つの解がc,dである. \ 2次方程式x^2+cx+d=0の2つの解がe,fである. \ 2次方程式x^2+ex+f=0の2つの解がa,bである. \end{array}.(2)2つの数列{a_n},{b_n}は,次の条件(**)を満たすとする.\mon[(**)]すべての正の整数nについて,a_n,b_nは整数であり,2次方程式x^2+a_nx+b_n=0の2つの解がa_{n+1},b_{n+1}である.このとき,(i)正の整数mで,|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=・・・となるものが存在することを示せ.(ii)条件(**)を満たす数列{a_n},{b_n}の組をすべて求めよ.](./thumb/411/973/2016_4.png)
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次の問に答えよ.ただし$2$次方程式の重解は$2$つと数える.
(1) 次の条件$(\ast)$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ. \[ (\ast) \ \ \left\{ \begin{array}{l} \text{$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解が$c,\ d$である.} \\ \text{$2$次方程式$x^2+cx+d=0$の$2$つの解が$e,\ f$である.} \\ \text{$2$次方程式$x^2+ex+f=0$の$2$つの解が$a,\ b$である.} \end{array} \right. \]
(2) $2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は,次の条件$(\ast\ast)$を満たすとする.
[$(\ast\ast)$] すべての正の整数$n$について,$a_n,\ b_n$は整数であり,$2$次方程式$x^2+a_nx+b_n=0$の$2$つの解が$a_{n+1},\ b_{n+1}$である.
このとき,
(ⅰ) 正の整数$m$で,$|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=\cdots$となるものが存在することを示せ.
(ⅱ) 条件$(\ast\ast)$を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の組をすべて求めよ.
(1) 次の条件$(\ast)$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ. \[ (\ast) \ \ \left\{ \begin{array}{l} \text{$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解が$c,\ d$である.} \\ \text{$2$次方程式$x^2+cx+d=0$の$2$つの解が$e,\ f$である.} \\ \text{$2$次方程式$x^2+ex+f=0$の$2$つの解が$a,\ b$である.} \end{array} \right. \]
(2) $2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は,次の条件$(\ast\ast)$を満たすとする.
[$(\ast\ast)$] すべての正の整数$n$について,$a_n,\ b_n$は整数であり,$2$次方程式$x^2+a_nx+b_n=0$の$2$つの解が$a_{n+1},\ b_{n+1}$である.
このとき,
(ⅰ) 正の整数$m$で,$|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=\cdots$となるものが存在することを示せ.
(ⅱ) 条件$(\ast\ast)$を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の組をすべて求めよ.
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