愛知工業大学
2015年 理系 第1問
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次の$\fbox{}$を適当に補え.
(1) $x^2-2x-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$\fbox{ア}$である.また,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$とすると,${[x]}^2-2[x]-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$\fbox{イ}$である.
(2) 数列$\{a_n\}$は関係式 \[ a_1=1,\quad a_2=\frac{4}{3},\quad 3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] をみたすとする.このとき,数列$\{a_{n+1}-pa_n\}$が公比$q$の等比数列になるような定数$p,\ q$の組は$(p,\ q)=\fbox{ウ}$であり,一般項$a_n$は$a_n=\fbox{エ}$である.
(3) $\displaystyle \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}=\sqrt{3}-2$となるのは$\tan \theta=\fbox{オ}$のときであり,これをみたす$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の値は$\theta=\fbox{カ}$である.
(4) $a$を実数とし,$\displaystyle f(a)=\int_{-1}^2 {(x-a |x|)}^2 \, dx$とする.$f(a)$は$a=\fbox{キ}$のとき,最小値$\fbox{ク}$をとる.
(5) $\tan x=t$とおくとき,$\sin 2x$を$t$で表すと$\sin 2x=\fbox{ケ}$である.また,$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin 2x} \, dx=\fbox{コ}$である. [(注)] 次の$(6),\ (7)$は選択問題である. 大小$2$つのさいころを投げて,大きいさいころの出た目を$a$,小さいさいころの出た目を$b$とする.$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの異なる実数解をもつ確率は$\fbox{サ}$,重解をもつ確率は$\fbox{シ}$,実数解をもたない確率は$\fbox{ス}$である. 平面上で,半径$3$の円$C_1$と半径$5$の円$C_2$が点$\mathrm{P}$で外接している.$1$本の直線が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$で円$C_1,\ C_2$とそれぞれ接しているとき,$\mathrm{QR}=\fbox{セ}$である.また,直線$\mathrm{QP}$と円$C_2$との,$\mathrm{P}$と異なる交点を$\mathrm{S}$とするとき,$\mathrm{SR}=\fbox{ソ}$である.
(1) $x^2-2x-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$\fbox{ア}$である.また,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$とすると,${[x]}^2-2[x]-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$\fbox{イ}$である.
(2) 数列$\{a_n\}$は関係式 \[ a_1=1,\quad a_2=\frac{4}{3},\quad 3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] をみたすとする.このとき,数列$\{a_{n+1}-pa_n\}$が公比$q$の等比数列になるような定数$p,\ q$の組は$(p,\ q)=\fbox{ウ}$であり,一般項$a_n$は$a_n=\fbox{エ}$である.
(3) $\displaystyle \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}=\sqrt{3}-2$となるのは$\tan \theta=\fbox{オ}$のときであり,これをみたす$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の値は$\theta=\fbox{カ}$である.
(4) $a$を実数とし,$\displaystyle f(a)=\int_{-1}^2 {(x-a |x|)}^2 \, dx$とする.$f(a)$は$a=\fbox{キ}$のとき,最小値$\fbox{ク}$をとる.
(5) $\tan x=t$とおくとき,$\sin 2x$を$t$で表すと$\sin 2x=\fbox{ケ}$である.また,$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin 2x} \, dx=\fbox{コ}$である. [(注)] 次の$(6),\ (7)$は選択問題である. 大小$2$つのさいころを投げて,大きいさいころの出た目を$a$,小さいさいころの出た目を$b$とする.$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの異なる実数解をもつ確率は$\fbox{サ}$,重解をもつ確率は$\fbox{シ}$,実数解をもたない確率は$\fbox{ス}$である. 平面上で,半径$3$の円$C_1$と半径$5$の円$C_2$が点$\mathrm{P}$で外接している.$1$本の直線が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$で円$C_1,\ C_2$とそれぞれ接しているとき,$\mathrm{QR}=\fbox{セ}$である.また,直線$\mathrm{QP}$と円$C_2$との,$\mathrm{P}$と異なる交点を$\mathrm{S}$とするとき,$\mathrm{SR}=\fbox{ソ}$である.
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