旭川医科大学
2016年 医学部 第3問
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$a$を正の実数とする.点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を,点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ.
(2) $(1)$で求めた範囲にある$a$に対して,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする.$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする.
(ⅰ) $d(a)$を求めよ.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ.
(ⅲ) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め,その概形を図示せよ.
(3) $d(a)$の最大値と,そのときの$a$の値を求めよ.
(1) 曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ.
(2) $(1)$で求めた範囲にある$a$に対して,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする.$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする.
(ⅰ) $d(a)$を求めよ.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ.
(ⅲ) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め,その概形を図示せよ.
(3) $d(a)$の最大値と,そのときの$a$の値を求めよ.
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