岡山大学
2013年 理系 第2問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$で定まる座標平面上の$1$次変換を$f$とする.ただし,$a,\ b$は実数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする.このとき,長さの比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}$は$\mathrm{P}$によらないことを示し,その値を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 正の整数$n$に対して,$A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とするとき, \[ p_n^2+r_n^2=(a^2+b^2)^n,\quad q_n^2+s_n^2=(a^2+b^2)^n \] が成り立つことを示せ.
(3) $109^2=l^2+m^2$を満たす正の整数$l,\ m$を一組求めよ.
(1) 原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする.このとき,長さの比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}$は$\mathrm{P}$によらないことを示し,その値を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 正の整数$n$に対して,$A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とするとき, \[ p_n^2+r_n^2=(a^2+b^2)^n,\quad q_n^2+s_n^2=(a^2+b^2)^n \] が成り立つことを示せ.
(3) $109^2=l^2+m^2$を満たす正の整数$l,\ m$を一組求めよ.
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