九州工業大学
2010年 工学部 第2問
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![Oを原点とする座標空間の2点A(0,0,2),P(cosθ,2+sinθ,1)に対して,直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ(X,Y,Z)とする.0≦θ≦2πとして,次に答えよ.(1)X,Y,Zをθを用いて表せ.(2)θが0,π,3/2πのときの点Qの位置ベクトルをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとする.0≦θ≦2πのとき,ベクトルOQ=sベクトルa+tベクトルb+uベクトルcをみたす実数s,t,uをθを用いて表せ.また,s+t+uの値を求めよ.(3)点Qからxy平面にひいた垂線とxy平面の交点をR(X,Y,0)とする.θが0≦θ≦2πの範囲を動くとき,xy平面における点Rの軌跡を求めよ.](./thumb/678/3144/2010_2.png)
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Oを原点とする座標空間の2点A$(0,\ 0,\ 2)$,P$(\cos \theta,\ 2+\sin \theta,\ 1)$に対して,直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ$(X,\ Y,\ Z)$とする.$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$として,次に答えよ.
(1) $X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする.$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ.また,$s+t+u$の値を求めよ.
(3) 点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする.$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき,$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ.
(1) $X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする.$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ.また,$s+t+u$の値を求めよ.
(3) 点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする.$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき,$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ.
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