高知大学
2012年 理学部・医学部 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) 次の不定積分を求めよ. \[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2) 関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって,常に$f(x) \geqq 0$であるものとする.また,$n$を自然数とする.このとき,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3) $f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて,次の極限値を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]
(1) 次の不定積分を求めよ. \[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2) 関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって,常に$f(x) \geqq 0$であるものとする.また,$n$を自然数とする.このとき,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3) $f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて,次の極限値を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]
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