東京理科大学
2012年 工(工業化・経営工・機械工) 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う.このゲームを,表がちょうど$4$回出たところ,または,裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする.ただし,硬貨を投げたとき,表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である.
(ⅰ) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると, \[ p_4=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad p_5=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\quad p_7=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}\fbox{キ}} \] である.
(ⅱ) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は \[ \frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}}{\fbox{コ}\fbox{サ}} \] である.
(2) $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して,$x$に関する$2$次方程式 \[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \] を考える.
(ⅰ) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは, \[ \fbox{ア}\fbox{イ}^\circ<\theta \leqq \fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}^\circ \] のときである.
以下,この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え,この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする.
(ⅱ) 無限等比級数 \[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \] が収束するのは, \[ \fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}^\circ<\theta \leqq \fbox{ケ}\fbox{コ}\fbox{サ}^\circ \] のときである.
(ⅲ) 無限等比級数 \[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \] が収束して,その和が$2-\sqrt{2}$となるのは, \[ \theta=\fbox{シ}\fbox{ス}\fbox{セ}^\circ \] のときである.
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$($\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$),線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$($\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$)とする.辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を,辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる.
(ⅰ) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=\fbox{ア}$である.
以下,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=3$,$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする.
(ⅱ) $\mathrm{OP}=1$のとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}\fbox{エ}} \times \sqrt{\fbox{オ}} \] である.
(ⅲ) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとるとき, \[ \mathrm{OP}=\frac{\fbox{カ}+\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}} \] である.このとき, \[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{\fbox{コ}+\fbox{サ} \sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}} \] である.
(1) $1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う.このゲームを,表がちょうど$4$回出たところ,または,裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする.ただし,硬貨を投げたとき,表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である.
(ⅰ) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると, \[ p_4=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad p_5=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\quad p_7=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}\fbox{キ}} \] である.
(ⅱ) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は \[ \frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}}{\fbox{コ}\fbox{サ}} \] である.
(2) $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して,$x$に関する$2$次方程式 \[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \] を考える.
(ⅰ) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは, \[ \fbox{ア}\fbox{イ}^\circ<\theta \leqq \fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}^\circ \] のときである.
以下,この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え,この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする.
(ⅱ) 無限等比級数 \[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \] が収束するのは, \[ \fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}^\circ<\theta \leqq \fbox{ケ}\fbox{コ}\fbox{サ}^\circ \] のときである.
(ⅲ) 無限等比級数 \[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \] が収束して,その和が$2-\sqrt{2}$となるのは, \[ \theta=\fbox{シ}\fbox{ス}\fbox{セ}^\circ \] のときである.
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$($\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$),線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$($\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$)とする.辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を,辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる.
(ⅰ) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=\fbox{ア}$である.
以下,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=3$,$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする.
(ⅱ) $\mathrm{OP}=1$のとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}\fbox{エ}} \times \sqrt{\fbox{オ}} \] である.
(ⅲ) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとるとき, \[ \mathrm{OP}=\frac{\fbox{カ}+\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}} \] である.このとき, \[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{\fbox{コ}+\fbox{サ} \sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}} \] である.
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