茨城大学
2010年 理学部 第2問
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$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし,関数$f(x)$を$f(x)=|x|^p$と定める.以下の各問に答えよ.
(1) 曲線$y=f(x)$の概形を描け.
(2) $a$を$0$でない実数の定数とするとき,点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ.また,接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ.
(3) 数列$\{a_n\}$を次のように定める:$a_1=1$とし,$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする.このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ.
(4) (3)で求めた数列$\{a_n\}$について,点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と,$x$軸,および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする.$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ.
(5) (4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について,無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ.また,収束するときの無限級数の値を求めよ.
(1) 曲線$y=f(x)$の概形を描け.
(2) $a$を$0$でない実数の定数とするとき,点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ.また,接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ.
(3) 数列$\{a_n\}$を次のように定める:$a_1=1$とし,$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする.このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ.
(4) (3)で求めた数列$\{a_n\}$について,点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と,$x$軸,および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする.$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ.
(5) (4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について,無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ.また,収束するときの無限級数の値を求めよ.
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