山口大学
2010年 工・理・教育 第3問
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$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$,$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし,$f$を行列
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする.$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき,次の問いに答えなさい.
(1) 2点A,A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし,焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい.
(2) 2点A,A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし,直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい.
(3) 双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい.
(1) 2点A,A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし,焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい.
(2) 2点A,A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし,直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい.
(3) 双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい.
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