筑波大学
2016年 理系 第4問
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![関数f(x)=2√xe^{-x}(x≧0)について次の問いに答えよ.(1)f´(a)=0,f^{\prime\prime}(b)=0を満たすa,bを求め,y=f(x)のグラフの概形を描け.ただし,\lim_{x→∞}√xe^{-x}=0であることは証明なしで用いてよい.(2)k≧0のときV(k)=∫_0^kxe^{-2x}dxをkを用いて表せ.(3)(1)で求めたa,bに対して曲線y=f(x)とx軸および2直線x=a,x=bで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ.](./thumb/86/1824/2016_4.png)
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関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} \ \ (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ.
(1) $f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2) $k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3) $(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1) $f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2) $k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3) $(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
類題(関連度順)
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