静岡大学
2016年 理学部(数) 第4問
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![αを絶対値が1の複素数とし,等式z=α^2\overline{z}を満たす複素数zの表す複素数平面上の図形をSとする.ただし,\overline{z}はzと共役な複素数を表す.このとき,次の各問に答えよ.(1)z=α^2\overline{z}が成り立つことと,z/αが実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形Sは原点を通る直線であることを示せ.(2)複素数平面上の点P(w)を直線Sに関して対称移動した点をQ(w´)とする.このとき,w´をwとαを用いて表せ.](./thumb/396/1404/2016_4.png)
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$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし,等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする.ただし,$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2) 複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
(1) $z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2) 複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
類題(関連度順)
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