名古屋市立大学
2015年 経済学部 第4問
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![空間内の点O,A_1,A_2,B,Cを考える.このとき,ベクトル\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2}はともに長さが1で,角度θ(0<θ≦π/2)をなす.また点BはO,A_1,A_2を含む平面H上に存在せず,ベクトルベクトルOBは,\overrightarrow{OA_1}・ベクトルOB=c_1,\overrightarrow{OA_2}・ベクトルOB=c_2を満たす(ただしc_1,c_2はいずれも0でない実数であるとする).さらにベクトルベクトルOCは,ベクトルOC=c_1\overrightarrow{OA_1}+c_2\overrightarrow{OA_2}のように表され,かつベクトルベクトルCBと垂直である.このとき,次の問いに答えよ.(1)角度θを求めよ.(2)|ベクトルOB|^2>{c_1}^2+{c_2}^2が成り立つことを示せ.ただし,|ベクトルOB|はベクトルベクトルOBの長さを表す.(3)c_1=c_2=c,|ベクトルOB|=bとする.また,\overrightarrow{OD_1}=c\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OD_2}=c\overrightarrow{OA_2}となるように,空間上に点D_1,D_2を与える.四面体D_1D_2CBの体積を,b,cを用いて表せ.(4)(3)の条件の下で3点D_1,D_2,Bにより定まる平面に対し,点Cから垂線を引いたとき,垂線と平面の交点をTとする.このとき,CTの長さをb,cで表せ.](./thumb/415/2582/2015_4.png)
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空間内の点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を考える.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で,角度$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす.また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は,$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす(ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする).さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され,かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 角度$\theta$を求めよ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ.ただし,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す.
(3) $c_1=c_2=c$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように,空間上に点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$を与える.四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を,$b,\ c$を用いて表せ.
(4) $(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$,$\mathrm{B}$により定まる平面に対し,点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき,垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする.このとき,$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ.
(1) 角度$\theta$を求めよ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ.ただし,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す.
(3) $c_1=c_2=c$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように,空間上に点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$を与える.四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を,$b,\ c$を用いて表せ.
(4) $(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$,$\mathrm{B}$により定まる平面に対し,点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき,垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする.このとき,$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ.
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