神戸大学
2011年 理系 第3問
3
![nを2以上の自然数として,S_n=Σ_{k=n}^{n^3-1}\frac{1}{klogk}とおく.以下の問に答えよ.(1)∫_n^{n^3}\frac{dx}{xlogx}を求めよ.(2)kを2以上の自然数とするとき,\frac{1}{(k+1)log(k+1)}<∫_k^{k+1}\frac{dx}{xlogx}<\frac{1}{klogk}を示せ.(3)\lim_{n→∞}S_nの値を求めよ.](./thumb/558/1534/2011_3.png)
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$n$を$2$以上の自然数として,
\[ S_n= \sum_{k=n}^{n^3-1}\frac{1}{k\log k} \]
とおく.以下の問に答えよ.
(1) $\displaystyle \int_n^{n^3} \frac{dx}{x\log x}$を求めよ.
(2) $k$を$2$以上の自然数とするとき, \[ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k\log k} \] を示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$の値を求めよ.
(1) $\displaystyle \int_n^{n^3} \frac{dx}{x\log x}$を求めよ.
(2) $k$を$2$以上の自然数とするとき, \[ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k\log k} \] を示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$の値を求めよ.
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