熊本大学
2015年 医学部(医学科) 第3問
3
![aとbを正の実数とする.△ABCにおいて,∠Bと∠Cは鋭角とする.点Aを通り辺BCに直交する直線を引き,辺BCとの交点をX_1とし,線分AX_1の長さを1とする.また,BX_1=a,CX_1=bとする.各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う.辺BC上の点X_nを通り辺ACに平行な直線を引き,辺ABとの交点をY_nとする.また,点Y_nを通り辺BCに平行な直線を引き,辺ACとの交点をZ_nとする.点Z_nを通り辺BCに直交する直線を引き,辺BCとの交点をX_{n+1}とする.線分Z_nX_{n+1}の長さをl_nとするとき,以下の問いに答えよ.(1)l_1をa,bを用いて表せ.(2)l_{n+1}をl_n,a,bを用いて表せ.(3)b=8aのとき,l_n>1/2となる最小の奇数nを求めよ.必要ならば,3.169<log_29<3.17を用いてよい.](./thumb/721/2978/2015_3.png)
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$a$と$b$を正の実数とする.$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする.点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし,線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする.また,$\mathrm{BX}_1=a$,$\mathrm{CX}_1=b$とする.各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う.
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする.また,点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする.点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする.
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $l_1$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) $l_{n+1}$を$l_n$,$a$,$b$を用いて表せ.
(3) $b=8a$のとき,$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ.必要ならば,$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてよい.
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする.また,点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き,辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする.点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き,辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする.
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $l_1$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) $l_{n+1}$を$l_n$,$a$,$b$を用いて表せ.
(3) $b=8a$のとき,$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ.必要ならば,$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてよい.
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