福井大学
2016年 医学部 第2問
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![原点をOとする座標平面上に,F(5,0)を焦点の1つとし,直線ℓ:y=kxとℓ´:y=-kxとを漸近線にもつ双曲線Cがある.ただし,k>0とする.C上の点Q(a,b)を通り,2本の漸近線に平行な2直線のうち,傾きが正のものをm,傾きが負のものをm´とする.ℓとm´との交点をP,ℓ´とmとの交点をRとし,四角形OPQRの面積をSとおくとき,以下の問いに答えよ.(1)双曲線Cの方程式をkを用いて表せ.(2)点P,Rの座標を,a,b,kを用いて表せ.(3)Sは点Qのとり方によらないことを証明せよ.(4)kがk>0の範囲を動くとき,Sの最大値とそのときのkの値を求めよ.](./thumb/366/2546/2016_2.png)
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし,直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある.ただし,$k>0$とする.$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り,$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち,傾きが正のものを$m$,傾きが負のものを$m^\prime$とする.$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$,$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし,四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) 双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3) $S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4) $k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
(1) 双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3) $S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4) $k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
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