福井大学
2014年 医学部 第4問
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以下の問いに答えよ.
(1) $n$を正の整数として,以下の問いに答えよ.ただし,自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい.
(ⅰ) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$,$b_n$がただ$1$組存在することを示せ.
(ⅱ) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ.
(2) 区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し,等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ.さらに,それを利用して次の定積分の値を求めよ. \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
(1) $n$を正の整数として,以下の問いに答えよ.ただし,自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい.
(ⅰ) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$,$b_n$がただ$1$組存在することを示せ.
(ⅱ) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ.
(2) 区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し,等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ.さらに,それを利用して次の定積分の値を求めよ. \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
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